那些有趣的数学定理！

01

平面上半径不同的三个圆，任意两个圆都有两条外公切线交于一点，而这样的点一共有三个，有一个定理是这三个交点总是共线的。

这个定理美妙而易于理解。但它的证法很多，给我印象最深的是它的几个奇葩证法，几年前看到瞬间打破了我的三观，比定理本身不知有趣到哪里去了。叙述如下：

在这个平面的三个圆上放三个球，每个球的半径都等于它底下的那个圆的半径。显然，这个平面是这三个球的一个公切面。再把公切线想像成这三个球确定的三个圆锥的母线在平面上的投影。显然三个圆锥的顶点都在这个平面上，且这三个顶点就是待证共线的三点。这三点是显然共线的，因为我们可以在三个球上找到另一个公切面（想像一块玻璃板从上面盖下去），那么这个切面上也包含了三个圆锥的顶点，而这两个切面的交线是唯一的一条直线。

这个证法的妙处在于把平面几何问题通过在空间里做辅助线进而巧妙地在空间里解决了。

另外还有一个简单到耍流氓的一句话证法：想象这是三个等大的乒乓球的透视图，圆越小说明离你越远。依据透视学的理论，这三组实际上平行的公切线都存在交点也就是消逝点，而这三个消逝点都位于地平线上。

如果第一眼看不明白，记得把题图旋转 180 度。

02

下面四组图像中，每组中第一个都可以通过同痕变换（三维空间中不撕破也不粘连的连续变换）得到第二个，大家打开脑洞试试找找这几个（同痕）变换过程：

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下面公布答案

最后借助问题 1 的答案，这个问题就解决了。

03

先说这个游戏：Tic-tac-toe

在  的棋盘上画 O 和 X，谁先成功的把他的棋子放到一行，一列或者对角线上就算赢。下面是 wiki 上的一个一局比赛的示范：

不过上面那个执 O 的简直是个智障玩法。玩过的都知道这个游戏后走的人很难赢但是也很难输的，基本上把把都是平局。

当年我在课上和同桌偷偷玩这个游戏的时候，玩两把我就转到五子棋了。把把平局，什么鬼。但是假如多思考两分钟我们就会发现，之所以平局是因为棋盘太小了，如果换成  的棋盘也许会好一些。也就是说我们猜测如果棋盘足够大，最后就很难平局。

但是再仔细想一下，仿佛又觉得不太对。因为棋盘扩大意味着获胜难度也大了：在  的棋盘上我们只要连三个子就赢了，但是   的棋盘要 4 个。所以我们可以控制赢的条件不变，然后再多一些棋盘空间，这样子大概就不容易出现平局了。比如我们可以把上面在棋盘上的游戏，转移到在魔方上玩：

然后我们猜测，这种情况下很难出现平局。于是我们得到了一个猜想：

Hales–Jewett theorem：简单的说，假设我们有  个人一起玩游戏（分别执不同棋子），并且规定只要连  个就算赢。那么一定存在 ，使得我们在  空间中边长为  的正方体上下棋，不会出现平局。

比如上图就是 2 个人在  中边长为 4 的正方体上下棋。这个定理试图说明，随机是不可能的。不论再怎么随机，再怎么混乱，再怎么皮，我都能找到规律。

H-J Theorem 并不特别困难 [1]，但是人们更感兴趣的是 density 版本的：如果棋盘的某些部分是残缺的，假如剩下的能下棋的地方足够多（正密度），也会满足最终不出现平局。

接下来说一些历史。D. H-J Theorem 看起来很 Simple 很 Naive，但是却 open 了很多年。Furstenberg 和 Katznelson [2] 在 1991 年借助动力系统中 ergodic techniques 第一次给出了证明，但是他们的证明极度复杂困难，而且上界的存在性用到了选择公理，没办法给出确切的界（只有存在性）。

故事的结局在 2010 年左右，T. Gowers 和陶哲轩一起合办的 Polymath 论坛把给出 D. H-J Theorem 的确切的界当作这个项目的第一个计划，起名为 D. H. J. Polymath。经过一年的努力那一堆大佬最终发现了纯组合的证明 [3]，并给出了一个确切的上界，而且有趣的是他们发表论文的作者名字就是 D. H. J. Polymath。用这个定理可以分别给出 Szemeredi Theorem 和 Green-Tao Theorem 的最短证明，实际上 Szemeredi Theorem 就只是 D. H-J Theorem 的自然推论。