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“周长”怎么教 兼及概念教学 ——2018年10月19日阜阳评课 受曹培英老师之托，一早从上海飞安徽阜阳，听了两堂课。久未动笔，借课后点评记忆犹新，提笔记之。 感谢陶云敏老师为大家呈现了一堂有思想的课！ 这堂课，如陶老师所言，用50cm铁丝的直与弯以及围成不同封闭图形，让学生对周长有“定性”的认识（不管图形如何，周长不变）；又通过在格子图中数周长，让学生对周长有“定量”的认识；最后又从面上的封闭图形拓展到体上的图形（地球纬度线），让学生对周长有更全面的认识。 如此一解释，我们不仅更清晰地看到了教学环节的层层递进，也看到了教学行为背后的设想，便于大家思考这个课“为什么这么教”——感谢陶老师！ 【核心材料与环节】 【在练习中巩固概念】 【周长也在球面上】 接下来，我想先说说陶老师课上的几个细节，再整体说说周长的教学。我不追求说得都对，而是追求勾勒“对与错的边界”，以方便大家拍砖。 一、复盘 课始的概念新授环节，我们看到了教学主要有如下环节： 首先，教师用铁丝为学具，将弯曲成的“n”形和“0”形做对比，得出围成一个圈的才是“封闭图形”。接着，也就是在教学5分钟后，给出概念定义：周长是封闭图形一周的长度。然后，用铁丝围成其他形状，让学生来指出周长，强化对不同图形而言，“一周的长度就是它的周长”。也就是8分钟左右，概念的新授部分，基本就完成了。 这样给出概念定义可以吗？如果后面环节有较高思维挑战，有加上概念理解的“表现性任务”，那么就可以弥补这么快给出概念的不足（过程经历的缺失）。也就是说，哪怕直接给出了周长的字面意思，并不妨碍后续环节依旧提供感知素材，让学生经历“感知-辨析-抽象-概括”的过程，因为，教师给出的定义对初次接触的学生而言，还只是“生字”，正需要更多的任务把其内涵纳入经验和认知结构。 在接下来的环节，核心任务是让学生用50cm的线围不同的图形，教师有意识地选择不同的图形，并追问周长是多少。学生回答：都是一根绳子，所以都是50cm。这里，陶老师用手机选择不同作品，这种选择学生资源的意识非常好。不过，恰如学生所言，这个问题并没有难度——“都是一根绳子”显而易见，也是学生对“守恒性”的表达，而能识别守恒，是本能。此处，50cm的定量，反而让孩子关注周长“是多少”而不是“是什么”。 教师又问，角（∠）有没有周长？此问是扣牢“封闭图形”的追问，学生回答“没有封闭图形”“一边开着，无法测量”，自然都是老师需要的的答案，但这样抠字眼，有故设“陷阱”之嫌。更重要的是，提问都应该是有意义的，这是人之常情，也就是说，对角（∠）我们不会问它有没有周长，因为没有意义（数学中的“∠”没有周长，现实中如需造一个铁角，是可以问“要多长的铁条”的）。这就像此课后面环节，教师问，苹果有没有周长？学生回答没有之后，教师切开，有了切面就有了周长。“苹果有没有周长”，这个问题也比较怪，学生猜不透教师的答案是什么。或许正是如此，当教师问腰有没有周长，有学生语气肯定地说：没有！（预设答案是：有！腰围。）这恐怕就是受“苹果有没有周长”一问的影响（苹果可以切开，腰，不能“腰斩”啊！）。 我们需要注意，课堂上有不少追问是教师和听课者都知道目的和意图的（因为我们知道要教什么），但站在学生角度却是很刻意，不能以常理、常情推测教师提问的目的和意义的，这类问题，容易引发学生“不良”却无辜的学习行为：猜测老师提问的动机与意图。 相比较而言，陶老师让学生在格子图中数“+”形、“E”形的周长，以及将长方形分成面积不同、周长相同两部分的辨析，更契合“周长”概念的教学。而将周长拓展到体上，也是合适的。 一堂课有几个亮点，便足矣！说了这么多，有吹毛求疵之嫌，但作为编辑，还是希望多一点基于细节分析的探讨，不当之处，多多见谅。 对了，还有一个细节很有意思，用50cm的绳子围成的“6”字形，有学生会认为当中有封闭图形，因此这个图形也是有周长的；加上这又是同一根绳子围起来的，学生更会觉得“6”字形周长也是50cm。对此，怎么破？ 二、建议 借这堂课，说说当下概念教学普遍的不足与建议。我做了ppt，如下： 学生困难： 1.缺乏生活经验，对概念语义的理解。“周长” 2.对给出的概念表象，缺乏语言概括能力。“什么是” 3.对概念间的联系和区别缺乏感知。“周长、面积” 教学不足： 1.扣字眼，语义反复，精确复述。“分数” 2.重演绎，缺过程（表象-心象-概念；操作无内驱力）。 3.重知识，轻素养。学科特点，教师意识 教学建议： 1.理念：演绎到归纳（告知到建构） 2.提供反复的感知材料（多样、异质） 3.多元表征：思维可视化+说出来！ 4.综合运用与理解：规律探究、绘本阅读、个性创编 以上，代表了我对概念教学整体的建议：让学生经历过程，在此过程中，学会探究，学会表达，学会抽象概括，学会反思，同时，也把合作、交流、悦纳他人作为教学内隐的目标。可以说，这些教学主张是笔者一直以来坚持的、关注人文的又关注思维品质的教学主张。 三、镣铐与钥匙 在教材中，一个数学概念的新授常常放入一个课时中，这其实是有问题的。一个概念的出现，有其非出现不可的必要，而这种必要性，必须要置于纵向的知识的联系中，才能凸显。比如，方程，刚刚开始学习的时候，习惯了算术思维的孩子因为列方程的格式，以及解方程的繁琐，而不认可方程的价值。 对概念新授（尤其是第一课时）这一先天不足，有何弥补措施？其中一个措施是，把概念放入知识的脉络中，放入更宽的知识单元中。这个“知识单元”，既包括教材上知识编排的具体单元，也包括不同单元、不同分册、不同年级间有关联的知识所构成的结构体系。 今天陶老师课始，让学生量出铁丝的长度，又将铁丝围成封闭图形，这种长度的特例是“周长”的现象就蕴含着周长教学的另一种路径。而这种路径恰恰是“单元”的，也就是能基于之前的内容，又能延伸到后面的内容。 接下来要越厨代庖地讲一讲教学，大家可以保持警惕，以批判性的思维来听一听。 拟周长的单元教学设想如下： 1.从“长度”到“周长” （1）生活变式和表象：准备学习单，单上有铅笔比长短、同学比高矮（已有经验）、马路上的限高、操场的跑道长、腰围、门框线等不同的生活表象，让学生找出这些生活中的词汇分别指的是哪里的长度。学习单要注意长度的差异性、代表性、多样性。 （2）抽象、分类：这些不同地方的长度你能分分类吗？学生会有不同的分类方法，比如平面的（操场上的）、垂直的（门上的），粗的、细的，都算对！也可能出现封闭的、不封闭的。如果没有出现，则教师自己在PPT上将长度分成两类，并说数学家们把这些长度这样分成分两类，猜猜看，为什么？ （3）小结、命名：让学生充分地说两类长度的不同，最后得出“一周的边线”“头围相接的总长”就是周长。注意，这里一定要允许学生用自己的话、生活中的话来说对“周长”的理解。 ——这一层次的教学，是以上位概念“长度”同化下位概念“周长”。须知，孩子能分辨长度的不同、面积的大小、体积的差异是生存的本能，因为，人就是其所处空间的产物。当然，特别接近的量的比较以及超出人体感知限度的极大量、极小量的比较，需要借助工具或者数学换算。因此，由长度同化周长，既是数学的，也是符合“常理”的。 此外，还要说明，哪怕是“由‘长度’同化‘周长’”的教学，何尝不是“教师的套路”？今天的孩子，比如读课外书遇到“周长”概念，很有可能搜索一下就知道定义了，而这，也是我们成人“求知”的常态。因此，跳出教师的套路，我们要考虑一堂课哪些非上不可，哪些可以为孩子的学习增值。 2.从“周长”到“周长公式” 在归纳出出周长的内涵之后，可以进行如下的教学： （1）呈现大量的不规则图形：这一类图形有曲，有直，有的曲直合一，有的来自生活，有的来自教材，要求出它们的周长，怎么算？——就是各边之和，一周总长。 这一环节，可以出现几个生活中的、和教材标准周长模型不一样的图形，比如霓虹广告灯管的“6”字形，求其总长度。以此强化的是，周长求法有统一思想，即所有边线之和，而在生活中，还有变式。 （2）呈现大量规则图形：圆形、心形、筝形、三角形、长方形、正方形……n边形，它们的周长怎么求？猜猜看算法一样吗？——这是整体处理规则图形，让孩子们感受到形状不一样，计算方法才不一样，计算公式的差异是因为要计算的图形的差异带来的，“形”影响“数”。由此，也建构出“周长公式”的区间：各边之和（a1+a2+……an）以及一边之长乘以边数（a·n），特例是圆形。 （3）处理“立体的”周长：给立体的东西镶边，抽象出其图形；或者长方涉及两个垂直的面的外围的6条棱的图形。——从平面到立体，强化概念的完整性，也是正视生活中的常情。 （4）小结：周长的计算思想是不变的，但算法会变；算法变，是因为图形变。大概念：数学就是服务于出现的不同的问题。 以上教学也是让学生建立一种整体的、结构的观点。其实，不仅长度、周长、周长公式，面积、面积公式也适合进行“单元的”整体考虑。如此，学生能感知到数学是有相对统一的模式的，是“变化中不变的”思想、方法和公式。而这，正是数学学科需要让孩子感受到的核心思维方式。 最后，再次感谢陶老师的研究课，让我们得以展开讨论和思辨。谢谢大家！ ——19日点评后草就，23日修订
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