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在古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国，数学是一门实用技术，被用于计算数量、几何长度、面积和体积。古希腊人从古埃及、古巴比伦和古印度学习了那时所有的数学知识。他们出于对逻辑的嗜好与擅长，用逻辑对数学知识进行了演绎推理和证明。至今初中生学习的诸如“因为┄┄，所以┄┄”这类范式的数学证明题，就是古希腊人发明的。 古希腊以后的2000多年，逻辑一直是数学证明的工具，或者说是数学的基石。但是，数学与逻辑仍然是两门不同的学问。仅仅从数学的完美性角度出发，将逻辑纳入数学，应该是极具诱惑力的想法，因而一直有学者试图用符号和数学运算来表示逻辑，完成逻辑推理，但都不太成功。 直到乔治.布尔才取得了决定性的突破。 布尔的父亲是鞋匠，母亲曾经是女仆。英国当时森严的等级制度使小布尔没有受到好的教育。但是，他靠自身强烈的求知欲和父亲的帮助（其父对科学、数学和文学都有浓厚的兴趣），布尔自学了上层阶级男孩才能学到的拉丁文、希腊语和数学。由于在数学学术刊物上发表过论文，1849年他被任命为爱尔兰Cork市皇后大学数学系的首席教授。 布尔发明了一种与传统代数相似的代数——布尔代数。 图1是一道传统代数题。 图1 一道传统代数题 在传统代数中，以字母（x、y）表示未知数，用运算符（+、-、x、/）、等于号（=）和数字组成代数方程，遵循运算规则，就可以得到答案。 在布尔代数中，用字母代表集合，仍然用运算符、等于号和数字组成方程，只不过布尔代数运算符的含义与传统代数不同。 在布尔代数中，运算符“+”意味着两个集合合并，如图2所示：A集合用红色圆圈表示，B集合用蓝色圆圈表示，A+B就是A集合与B集合的合并，图中用绿色表示。 图2 算符“+”示意 在布尔代数中，运算符“X”意味着两个集合的交集，如图3所示：A集合用红色圆圈表示，B集合用蓝色圆圈表示，A X B就是A集合与B集合的交集，图中用绿色表示。 图3 运算符“X”示意 布尔代数的运算规则多数与传统代数相同。不同的有以下几条： 1，表示全部集合； 0，表示空集； 1 – A， 表示排除了A以后的集合，即非A集合； 1 + A = 1， 全部集合与A集合的并集还是全部集合； A x （1 – A）= 0，这是矛盾律，即A集合与非A集合的交集是空集，它表明一个事物不能同时是它自己和它自己的反面； A x A = A， A集合与A集合的交集仍然是A集合； A + A = A， A集合与A集合的并集仍然是A集合； 布尔代数只有两个数，分别是：true(真）和false（假）。 图4是十进制运算表，是小学一年级学生必须熟记得。 图4 十进制运算表 图5是布尔代数运算表，对比十进制运算，布尔代数具有一种惊人的简洁美。 图5 布尔代数运算表 布尔曾经是小学老师，他在教小孩子记住十进制运算表时一定被虐心过。或许这也是他发明布尔代数的动机之一。 我们现在来看看，布尔代数如何进行逻辑推理运算。首先考虑一个著名的亚里士多德三段论逻辑推理： 所有人都是要死的； 苏格拉底是人。 因此苏格拉底是要死的。 用P代表所有人的集合，用D代表所有要死的东西的集合（包括人、猫、狗、树等等一切生命体），用S代表苏格拉底，依题意： P X D = P 这个表达式意味着“所有人是要死的”。如图7所示，所有人是都要死的相当于所有人的集合P包含在要死的东西的集合D里面，因此，交集运算就如上式。 图6 “所有人是要死的”示意 苏格拉底是人的集合表达式： S x P = S 就是说苏格拉底（S集合）包含在所有人（集合P）里面。布尔运算如下: 运算结果：S X D = S 意味着“格拉底集合包含在要死的东西集合里面”，因此，苏格拉底是要死的。 假如布尔代数只能解决如此小儿科的问题，那么就不会是伟大的发明了。下面举一个略难的问题。 设： M代表公猫 F代表母猫 W代表白猫 Y代表黄猫 B代表黑猫 O代表其它所有颜色的猫 N代表被阉割过的猫 U代表有生殖能力的猫 假如你对宠物店的店员说：“我要买一只猫，一只阉割过的公猫，白色或黄色的均可；或者要一只阉割过的母猫，除了白色，其它颜色均可；或者只要是只黑猫，我也要。” 店员对你说：“看来您想要的猫是下面的式子表示的集合中的一只： 对吗？”你回答：“是的，完全正确！” 开始，店员拿出一只有生殖能力的黄色公猫，你将这只猫代入以上式子运算，结果如下： 因此，上式成为： （Ture x False x（False + Ture） + （False x False x（1 – False））+ False =（False x（False + Ture））+（False x（1 – False））+ False =（False x False + False x Ture）+（False x 1 – False x False）+False = False + False +False = False 所以，有生殖能力的黄色公猫不符合我的要求。 接着，店员又拿出一只阉割过的灰色母猫，你再将其代入表达式运算，结果如下： （False x Ture x （False + False））+ （ Ture x Ture x Ture）+ False =（False + False）+ Ture + False = False + Ture +False = Ture + False = Ture 所以，阉割过的灰色母猫符合我的要求。 这个例子说明布尔代数是如何帮人们做出逻辑判断的。读者也许会说：“这样做并不容易嘛！”。是的，用手算确实比较麻烦。但是请读者想一想，假如你面对的是由成百上千集合，通过成百上千运算符组成的逻辑关系，用布尔代数运算，至少可以获得正确的逻辑判断。如果哲学家仅凭聪明的脑袋，估计弄错的可能性极大。再来，一旦让机器（比如计算机）掌握了布尔代数，情况可就大不一样啦，人们只要事先按照逻辑关系设置好机器，就可以非常非常快地完成逻辑判断。 布尔本人有没有意识到他发明的意义呢？让我们看看布尔那两本伟大著作的名称：《逻辑的数学分析，论演绎推理的运算》、《建立在逻辑和概率数学理论基础上的思想规律研究》。每当我看到他这么野心勃勃、甚至异想天开的书名，就会情不自禁地喟叹：“布尔的思想具有多么深邃的穿透力呵！他有可能预料到了人工智能。” |
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