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正弦定理，角和边之间的转化，2大类题型，高考数学重点考察内容，高中数学_高考数学。正弦定理第一大作用是求三角形的边和角，咱们在上节课已经讲过，第二大作用是可以把边之间的关系转化为角的正弦之间的关系，反过来也可以把角的正弦之间的关系转化为边之间的关系，例如a＝b＋2c，可以转化为sinA＝sinB＋2sinC，反过来亦可转化，注意，只有当等式中的每一项都含有指数相同的边或角的正弦因式时，才能够这样转化，例如，a²＝3bc，可以和sin²A＝3sinBsinC互相转化，但a²＝3bc＋a，就不能和sin²A＝3sinBsinC＋sinA互相转化，因为每一项边（或角的正弦）的次数不完全相同，最后一项a是1次，其余是2次；边角关系综合题很多都是根据正弦定理第二大作用设计出来的，下面咱们以3道例题来说明如何借助第二大作用来解题。 第一类题型，前3道题。 第1题 第1题分析：等式中的每一项都含有三角形边的1次项，所以可以借助正弦定理第二大作用，把等式中的边转化为对角的正弦可得sinC＝2sinAcosB，然后进行变形，得到三角形角之间的关系，最终即可判断三角形的形状，详细过程如下： 第2题 第2题分析：等式中的每一项都含有三角形边的1次项，所以可以根据正弦定理的第二大作用把边都换成对角的正弦，然后进行变形来求cosA的值；一般情况下，对于复杂的等式求值问题，都是通过分解因式来进行，具体情况如下： 第3题 第3题分析：本题是求b和a的比值，一般是考虑把角都变成边，再通过变形求出这个比值，但是题中等式并非每一项都含有角的正弦，所以不能够把角通过正弦定理转化为边，观察，发现每一项都含有边的1次项，所以可以把边都转化为对角的正弦，然后变形得到①式，①式中的各项都含有三角形角的正弦1次项因式，所以可以把角的正弦都转化为边，从而求出b和a的比值，过程如下： 接下来探讨正弦定理的变形比值等式：sinA:sinB:sinC＝a:b:c的使用方法，这是第二类题型。 第4题 第4题分析：要求的是a:b:c的值，可以联想到使用上面的正弦定理变形公式来求比值；题中给出了cosA和cosB的值，由此可以求出sinA、sinB和sinC的值，详细过程如下： 第5题 第5题分析：直接利用题中的等式来求k的范围明显行不通，等式的左边是三角形三个内角的正弦之比，可以考虑使用上面的正弦定理变形公式把正弦之比转化为边长之比：a:b:c，然后根据三角形三边的性质：任意两边之和大于第三边来求k的范围。 解释一下为何只列了2个不等式：为了满足“任意两边之和大于第三边”，一般要列3个不等式；但是如果能够判断出三边的大小关系时，只要满足较短的两边之和大于最长边，这一个条件就够了；本题中k、k＋1和2k中，明显k最小，另两个k＋1和2k大小判断不出来，所以只需满足k＋1和2k其中一个加上k 大于另外一个即可，也就是只需列两个不等式。 高一、高二、高三、基础、提高、高考复习、真题讲解，专题解析；孙老师数学，全力辅助你成为数学解题高手。 温馨提醒：公众号菜单处可以查看分类的课程和专题。 |
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