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如何利用导数求含有参数的函数的零点个数，高中数学疑难答疑精选。 昨天晚上试行开放疑难答疑的信息发出后，这是第一位提出数学疑问的学生，从他（她）提出的问题来看，应该是一位高三学生，问题提得很好，这个问题也是高考数学考察的热点，所以我毫不犹豫地决定答疑这位同学。 大家有什么疑问尽管提出来，如果你的问题问得好又具有普遍性，我一定会抽时间答疑，如果你的问题没有得到我的答疑，也不要丧气，可能问题太多了，我顾不过来，你可以经常到菜单处看看分好类的课程专题及疑问答疑，在那里你可以学到很多知识。 求函数零点的个数问题，不管函数表达式中有没有参数，其总体的解题思路都一样，不同的是，含有参数时，由于参数的取值不确定，一般要分类讨论，但只要严格按照通用的求零点个数的解题思路去做，不会遇到太大的困难。 求函数零点个数的通用解题思路：先利用导数求出f(x)的所有单调区间，然后分别判断每一个单调区间的两个端点处的函数值的符号，如果符号相反，则函数在这个单调区间上有一个零点，如果同正或同负，则函数在这个单调区间上没有零点。 一般情况都是按照这个解题思路来，但也不绝对，有些较难的题目不能一上来就求单调区间，具体问题还要具体分析，但不管如何，最终还是要按照这个思路进行。 下面咱们通过一道例题来感受一下。 首先利用导数的知识求出函数f(x)的单调区间，这个没什么难度，过程如下： 单调区间求出来了，共2个，接下来要分别判断每一个单调区间的两个端点处函数值的符号。从上面的单调区间可以看出，函数有最小值，这个是关键因素。不管函数有最大值还是最小值，都要先求出来，我不讲为什么，往下看，你就会明白。 函数只有这一个最值且是一个最小值，这个最小值同时是两个单调区间的端点处的函数值，所以要判断它的符号。最小值中含有参数a，当a分别＜0、＝0和＞0时，其符号不同，所以要分这三种情况进行讨论。下面讨论第一种情况：a＜0时。 接着讨论第二种情况：a＝0时。 情况(2)，a＝0时，f(x)最小值等于0，因为只有这一个最小值，所以f(x)不可能在别处存在零点，故只有这一个零点。 最后讨论第三种情况：a＞0时。这种情况有点儿难度。函数f(x)有两个单调区间，共3个端点：从左到右依次为：－∞、a＋1和＋∞，下面分别判断这三处的函数值的符号。前两处好判断，如下： 判断第三处的函数值符号有难度。当x趋向于＋∞时，我们根据函数增长的快慢速度可以分析出函数值是大于0的，但一般不能这么书写过程，这种情况常使用特殊值法，即在对应增区间(a＋1,＋∞)上取一个尽可能大的特殊值，只要在这个特殊值处的函数值大于0，即可得出x趋向于＋∞时，f(x)大于0。这个特殊值要靠一点儿经验来取，我取的是3a＋3，当然可以更大一些。 不要忘了，最后来个综上，完美！ 温馨题型：问问题，查专题，请到菜单处。 |
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