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例题：（初中数学竞赛题）如图所示，已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4．求证：1/AB + 1/AC ＝ 1/BC． 这是一道求证线段比例式的几何题，给出的条件很少，图形也非常简单，绝大多数学生一看到这道几何证明题就彻底懵了，即使是学霸也被悉数难倒，其实也不怪他们，因为这是一道数学竞赛题，难度比较大。此题的考查知识点有相似三角形的判定及性质问题等。在做题时，必须将求证的结论进行变形，得出我们熟悉的线段比例式。解决此题的关键是以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似。下面，猫哥就与大家一起来解决这道例题吧！ 分析：若要证1/AB + 1/AC ＝ 1/BC，只需证明（AB+AC）/（AB·AC）=1/BC，进一步变形可以得到（AB+AC）/AC=AB/BC，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及（AB+AC）这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．由于△ABC中已含其中的三条线段，因此，不妨以原三角形ABC为基础，结合角的关系添加辅助线，构造一个与△ABC相似的三角形即可。 证明：延长AB至D，使BD=AC（此时AD=AB+AC）， 延长BC至E，使AE=AC，连接ED． 设∠A=α， ∵∠A：∠B：∠C=1：2：4， ∴∠B=2α，∠C=4α， 由三角形内角和得∠A+∠B+∠C=7α=180°． 由作图知∠ACB是等腰三角形ACE的外角， ∴∠ACE=180°-4α=3α， ∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α． ∴∠EAB=2α=∠EBA， ∴AE=BE． ∵由作图知道AE=AC，BD=AC， ∴BE=AE=BD， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠D=∠BED=α=∠CAB， 又∵∠EAD=2α=∠CBA， ∴△ABC∽△DAE， ∴AD/AE=AB/BC， 即（AB+AC）/AE=AB/BC， 等量代换得（AB+AC）/AC=AB/BC， 两边都除以AB，得 1/AB + 1/AC ＝ 1/BC ． （完毕） 温馨提示：此文是原创作者猫哥一字一句打出来的，文中难免会出现一些小错误，还请大家谅解！数学世界不追求高难度题目，但一定是经典题型，希望大家喜欢。另外，若朋友们还有不明白的地方或者有更好的解题方法，欢迎留言参与讨论。谢谢！ |
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