孤独的素数，孪生素数

什么是素数。

素数是我们小学就学习过的数学概念。

素数是指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数。 否则称为合数。

人们经常把它类比成化学中的基本元素，化学中有100多种基本元素，这些基本元素可以构成我们这个色彩缤纷的世界。比如 两个氢原子和一个氧原子可以构成水分子， 甲烷就是 一个碳原子和四个氢原子
等等。同样的道理，一个大于1的自然数，要么是素数，要么是几个素数的乘积。

在数论中，还有一个概念，任何一个合数，都可以分解成几个素数的乘积，而且合数的因数分解是唯一的。这个理论非常重要，它更加明确的确立了素数在数论体系中的地位，就像水分子只能分解为两个氢原子和一个氧原子，一个合数，只能分解为唯一的一组素数的乘积。比如 120 只能分解为 2*2*2*5*3。

关于这个因数分解的唯一性的证明，可以参考 加州理工大学Tom Apostol 教授的数学分析，第二版的第六页。

素数有多少呢？

这问题早在约公元前300年时，就已被欧几里得解决。他发现素数有无穷多个。而且证明起来也非常巧妙。

不妨假设我们目前发现了 m 个素数，（2， 3， 5， 。。。pm ）

现在考虑它们的积再加1 ： （2 * 3 * 5 * … .. * pm + 1），

这是一个比刚才已经发现的m 个素数都大的数，也是一个自然数。它是素数吗？

如果是，那我们就得到一个新的素数。注意一下，这里构造出来的数 （2 * 3 * 5 * … .. * pm + 1），和刚刚已知的最大素数pm 之间其实还是会有其他素数的。比如 假设我们目前只知道2 ， 3，5 这三个素数，通过刚刚的公式可以得到 2*3*5+1=31 ， 31 是一个比我们已知的2 和3 还大的素数，但是在已知素数（2， 3，5）和求得的素数（31）之间，7，11， 13， 23，等等也是素数。

如果不是，那么 既然这个数按照定义不能被 那些m 个素数整除，必然存在其他的素数，可以整除它，所以还是会存在新的没发现的素数。比如，目前我们发现2，3，5，7，11，13 这几个素数，然后通过 2x3x5x7x11x13+1=30031，我们发现30031 不是素数，但是30031不能被 2，3，5，7，11，13 整除，所以必然存在其他素数。结果我们发现 30031=59*509. 所以我们还是可以发现新的素数。

如何寻找素数，

化学家不断的寻找和制造新的元素，数学家也想寻找更多的素数，

同为古希腊数学家的埃拉托色尼，给出了一个比较省力的算法，后人称之为埃拉托色尼筛法。

首先，列出从2开始的数。然后，将2记在素数列表上，再划去所有2的倍数。根据定义，剩下的最小的数——在这里是3——必定是素数。将这个数记在素数列表上，再划去所有它的倍数，这样又会剩下一些数，取其中最小的，如此反复操作。最后剩下的都是素数。

这个是非常笨的方法，

当古希腊人用这种方法计算出长长的素数列表时，他们也许也曾惊异于素数分布的秩序缺失。这些自然数的组成单元，在自然数中的排列却毫无规律，时而靠近，时而疏远。而随着数目越来越大，相邻素数之间的距离似乎也越拉越长。

比如，100以内有25个素数（25%），而100万以内的素数只有7.85%。

在无限延伸的自然数集中，向无穷的地平线望去，虽然仍有无穷的素数，但它们似乎也愈变孤独。

没错，你听的没错，人们用孤独来形如 素数出现的频率，虽然数字越大，素数出现的情况越少，但是它依然义无反顾奔向无穷。

高斯在15岁的时候，给出了一个简单的描述素数分布规律的公式，

一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为素数计数函数，亦即不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x) = x/ln(x) 这个只是一个简单的估计。

素数有什么规律吗？

既然知道素数有无穷多个，也知道越大的时候，出现的情况越少，那他有什么规律吗？

首先，除去 2， 3， 5， 7 等等这些比较小的人们不去考虑，对于大的素数，它肯定是以 1 ， 3， 7， 9 这四个数字结尾，比如 11， 17， 13， 19，开始人们认为这四个数字出现的概率是相等的。

但是渐渐大家发现情况不是那么简单。

斯坦福大学发现 素数也有自己的偏爱。 他们研究了前10亿个素数，发现 如果一个素数以1 结尾

XX1， 那么下一个素数，18% 是以1结尾，30% 是以 3结尾，30% 是以7结尾，22% 是以9结尾。

后来他们又研究了超过4000亿个素数，发现了同样的规律，素数讨厌自我重复，大家可以看一下他们的研究。

论文标题：UNEXPECTED BIASES IN THE DISTRIBUTION OF CONSECUTIVE PRIMES

论文地址： https:///abs/1603.03720

孪生素数 素数成对出现？

最后给大家补充一个概念，孪生素数，

孪生素数（也称为孪生质数、双生质数）是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。

与之相关的，两者相差为1的素数对只有
(2, 3)；两者相差为3的素数对只有 (2, 5)。

那么相差2 的孪生素数有多少呢？目前的猜想是无穷多个，这个就是著名的孪生素数猜想

这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问孪生素数猜想题中提出，可以被描述为“存在无穷个孪生素数”。

这个猜想之所以非常奇妙是因为它会给人一种违反直觉的感觉，因为我们已经知道，随着素数的增大，素数变得越来越稀少，所以直觉是两个素数应该相差越来越大，但是数学就是这么奇妙，在整体越来越稀少的情况下，
还是会出现 孪生素数，他们仅仅相隔2，比如 10016957和10016959 甚至更大，截至2016年9月为止，已知最大的孪生素数为 2996863034895 · 2^(1290000 ) ±1，此数有388342位

目前素数的研究已经非常深入，而且也广泛用在生活中，比如密码学里边用了大量的素数知识，还有电子货币领域。