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引言 “2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式[1]的伏笔，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学[2]最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。” 一些当代数学家甚至于认为不可能存在这样的公式。 作者认为，这个词条说明了该问题是世界顶级难题。素数通项公式价值连城，远比哥德巴赫猜想[3]珍贵、功用大[4]。 劳维尔们的直觉错了。因为素数的构成单一，不可改变，无法解析，只能够反向探究合数结构、自然数运算。 研究进展、吸人眼球的成果：费马素数猜想式2^(2^n)+1[5]，梅森质数猜想式2^p-1 [6]。 这两个数的指数不大时，已知素数都很少，更多是合数；指数稍大就无法计算、判断。不仅如此，而且公式没有给出证明。再有，类似这两个代数式的式子很多。例如把其指数改变成奇数、偶数，2改变成3、5、7···。这样，根本无法一一研究，研究成果、功用难言重要，或许不值得研究。因此，一些数学家把这两个公式作为了研究课题，偏失了方向，收获难言硕大。 这两个公式，不过是指数特殊的普通代数式而已。素数的判定定理证明了它们表计素数的纯粹性、该代数式只能表计极少部分自然数，证明了它们表计素数的有限性。 其实p=2n+1(或减1)就是素数通项公式[7]，剩下探索的问题、任务，就是解析n的构成形式、种类、性质、规律罢了。 这么原始、平常、简单的公式，数学家们都熟视无睹、证明束手无策，其原因就是他们没有解析合数的构成、自然数运算。 笔者研究的经验证明，数论探讨者，既要当数学家，又要做哲学家。以哲学的逻辑思维、方法,先粗略做宏观战略分析，预判目标方向、范围，再详细做微观战术考证，选准道路、方法。即先粗略分析自然数“排列组合”的客观实际，预判公式存在于哪种（不言而喻是和差）运算中，再详细解剖加数、减数、和差构成及规律、形式、条件，最后归纳总结、升华，迎刃而解难题。 相反，连取得研究进展、成果的不少著名数学家也南辕北撤在非整数界寻找，踏破铁鞋无觅处，失败告终。作者希望论文发表，从而避免大量探索者误入歧途，白做无用功，耗费无穷精力时间。 提要 所谓素数通项公式，要满足三个条件： 1、以自然数表计。 2、每个表计结果必是素数。 3、公式能够表计出全部奇素数。 作者发现，2n+1(或减1)是奇自然数的通项代数式 =〉2n+1(或减1)也是奇素数的通项代数式=〉2n+1(或减1)表素数的完善性；=〉解析n的构成、根据素数判定定理即可证明2n+1(或减1)表素数的纯粹性=〉素数通项公式。 关键词 素数 通项 公式 定义 令pr、px、py表素数,n、r、x、y、k表自然数,且｛n｝=｛1、2、3、4、5···n｝,k≥ pr， ｛k｝=｛1、2、3、4、5···k｝，｛r｝=｛1、2、3、4、5···r｝,√px≥py＞pr。“ |”为整除号，“?”为不整除号,（因为没有，作者暂时在此文以）“i”为素因子指数任意改变号（简称变幂号）。 定理 2n加上或减去1，当n=自然数前k项之积（其积即k!）,和或差都不被大于k的素数、小于或等于和或差的平方根的素数整除时，必为素数；任意改变k!各项素因子的指数(改记积为k!i，显然k!∈k!i)，定理依然成立；k！空缺若干项（非全部项）时(因为空缺项可以视为改其指数为0，所以依然改记积为k!i)，和或差不被所缺项的素因子整除时，定理依然成立。其表计公式即为： 素数通项公式 px=2n+1=2pr!i+1 px=2n-1=pr!i-1 py?px 、缺项素因子?px 时，px必为素数；px值集就是奇素数集；当和与差都为素数时，即是孪生素数。 例如当n=k!时，由px=2k!+1(或减1）得： k=1 px=2(1x1)+1=3 k=2 px=2(1x2)+1=5 px=2(1x2)-1=3 (孪生素数） k=3 px=2(1x2x3)+1=13 px=2(1x2x3)-1=11 (孪生素数） k=4 px=2(1x2x3x4)-1=47 k=5 px=2(1x2x3x4x5)+1 =241 px=2(1x2x3x4x5)-1 =239 (孪生素数） k=6 px=2(1x2x3x4x5 x6)-1=1439 任意改变例式中k!的各项素因子指数时，由px=2pr!i+1(或减1）得： k=1 px=2(1x1x1)+1=3 k=2 px=2(1x2x2)-1=7 px=2(1x2x2x2)+1= 17 px=2(1x2x2x2x2)-1=31 px=2(1x2x2x2x2x2)-1=127 k=3 px=2(1x2x2x3)-1=23 px=2（1x2x3x3）+1=37 px=2(1x2x2x3x3)+1 =73 px=2(1x2x2x3x3)-1=71 (孪生素数） k=4 px=2(1x2x2x3x4)+1=97 px=2(1x2x2x2x3x3x4)+1=577 px=2(1x2x3x3x3x4)+1=433 px=2(1x2x3x3x3x4)-1=431 (孪生素数） k=5 px=2(1x2x2x3x4x5)-1=479 px=2(1x2x3x3x4x5)-1=719 px=2(1x2x3x3x3x4x5)+1=2161 px=2(1x2x3x4x5x5)+1=1201 k=6 px=2(1x2x2x3x4x5 x6)-1=1439 px=2(1x2x2x2x3x4x5 x6)+1=2801 当例式中k!i缺项时( 举例恕未指出缺项），由px=2pr!i+1(或减1）得： k=3 px=2(1x3)+1=7 px=2(1x3)-1=5 (孪生素数） px=2(1x3x3)+1=19 px=2(1x3x3)-1=17(孪生素数） px=2(1x2x2x2)+1=17 px=2(1x3x3x3)-1=53 k=4 px=2(1x2x3)+1=13 px=2(1x2x3)-1=11 (孪生素数） px=2(1x2x2x4x4)-1=127 px=2(1x3x4)-1=23 k=5 px=2(1x3x5)+1=31 px=2(1x3x5)-1=29(孪生素数） px=2(1x2x3x5)+1=61 px=2(1x2x3x5)-1=59(孪生素数） px=2(1x4x5)+1=41 px=2(1x2x4x5)-1=79 px=2(1x3x3x5)-1=89 px=2(1x4x5x5)-1=199 k=6 px=2(1x2x3x5 x6）+1=181 px=2(1x3x5 x6)-1=179(孪生素数） px=2(1x5x5x5)+1=251 px=2(1x5x6x6)-1=359 非上列例式 k!i缺项举例，依然由px=2pr!i+1(或减1）得： k=7 px=2(1x3x7)+1=43 px=2(1x3x7)-1=41(孪生素数） px=2(1x7)-1=13 px=2(1x2x3x7)-1=83 px=2(1x7x7)-1=97 k=8 px=2(1x3x8)-1=47 px=2(1x2x3x8)+1=97 px=2(1x3x3x4)+1=73 px=2(1x3x3x4)-1=71(孪生素数） k=9 px=2(1x5x9)-1=89 px=2(1x7x9)+1=127 px=2(1x2x5x9)+1=181 px=2(1x2x5x9)-1=179(孪生素数） k=10 px=2(1x3x10)+1=61 px=2(1x3x10)-1=59 (孪生素数） px=2(1x3x3x10)+1=181 px=2(1x3x3x10)-1=179(孪生素数） k=11 px=2(1x2x11)-1=43 px=2(1x3x11)+1=67 px=2(1x3x3x11)+1=199 px=2(1x3x3x11)-1=197(孪生素数） ······ k=19 px=2(1x19)-1=37 px=2(1x2x5x19)-1=379 px=2(1x3x19-1)=113 px=2(1x5x19)+1=191 ······ k=97 px=2(1x97）-1=193 px=2(1x5x97)+1=971 证明: 当n=k!时,k!中的合数分解质因数后转化成若干个≤ k的素数积、空缺了该合数项=〉k!=pr!i （例如 k!=1x2x3x4=pr!i=1x2x3x2x2 pr!=1x2x3 空缺了4) =〉n=k!+1(或减1)=pr!i+1(或减1) =〉pr|pr!i、k! 又，pr?1=〉pr?px ，已知k≥ pr、 py?px py﹥ pr≤ √px =〉＜ √px 的素数都?px 。 假定有＞py 的素数|px ，已知pr≤ k pr ＜ py≤√px =〉必有一个pr或py |px 。这与pr?px py?px 矛盾 =〉假设不能成立。 =〉公式成立[8]。 同样可证任意改变k!的素因子指数时，公式依然成立；当k!i缺项时，px不被缺项素因子整除，公式依然成立。 2n+1、 2n-1可以表计奇自然数列、奇素数列，n只有公式中的三类客观存在形式 =〉任意一个素数的构成必是其一=〉px的值集就是奇素数集。 此公式以奇自然数通项公式表计=〉公式能够表计出全部奇素数；每个表计结果都是素数=〉公式名称（举例计算所得素数集，就包含了100内的全部奇素数）。 （待定新符号问题：以pr!i表代n的三种类型，还是分类表代？确定i为变幂号？） 讨论：虽然各种素数公式都是素数通项公式的子公式，或曰推论，但是同一素数可能有一、二、三类、各类多种表计法，顺理成章产生以下问题： 1、还有其他形式素数通项公式吗？ 2、两素数(n+x)+(n-x)=2n,其值集是偶数集？ 3、素数px=m+n px=m-n ,m、n的构造类型？ 4、除开2外的偶数集，是奇素数两两之和集的子集？ 5、还有其它形式孪生素数公式？ 6、还有其它形式对偶素数公式？ 7、还有其它形式特殊素数公式？ 8、素数研究的基本思路、原理、方法是是么？ 9、合数构成有哪些类型？ 10、各公式的功用价值、意义？寻找困难程度、等级可以鉴定吗？发现者的功绩、级别怎样评价？
参考文献
[1]百度百科[词条]“素数普遍公式””[DB/OL] [2] 华罗庚著《数论导论》［M］1957年7科学出版社 [3] 百度百科[词条]“哥德巴赫猜想”[DB/OL] [4]徐驰著《哥德巴赫猜想》[N] 1978年2月17日《人民日报》 [5]百度百科[词条]“费马数”[DB/OL] [6]百度百科[词条]“梅森素数”[DB/OL] [7]百度百科[词条]“奇数的代数式”[DB/OL] [8]百度百科[词条]“素数的判定定理”[DB/OL]
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