|
质数 - 数学名词 编辑词条 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数(素数） 基本信息 中文名称 质数 外文名称 Prime Number 别名 素数 目录 1相关定理 2未解之谜 3数目证明 4著名问题 5素数应用 6最新成果 7素数表 基本信息  质数最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数；其他素数都是奇数。素数有无限多个，所以不存在最大的素数。 围绕著素数存在很多问题、猜想和定理。著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。 素数序列的开头是这样的： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151 素数集合有时表示成粗体。 在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。 算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。  质数例如： 关于分解的详细方法，可见于整数分解条目。 这个定理的重要一点是，将1排斥在素数集合以外。如果1被认为是素数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件。 0由于可以被任何数整除（合数）（因余数一定等于0），所以它不符合素数的定义。 相关定理编辑本段 素数定理 素数定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。  质数 素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。 素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selbearg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。 算术基本定理 任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个素数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<p_2<...<p_n是素数，其诸方幂 ai="" 是正整数。 这样的分解称为N 的标准分解式。 算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。 算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。 此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。 素数等差数列 等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类似7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。2004年4月18日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （每两个差210）。 能够产生素数的等差数列与等差合数数列 能够产生素数的等差数列与合数数列是相对应的。 等差合数数列，在整数递增等差数列中，当首项能被公差或公差分解出来的素因子整除时，该等差数列只有首项可以为素数，其余项皆为合数，除首项的素数外，我们称其余项为合数等差数列。 能够产生素数的等差数列，在整数递增等差数列中，当首项不能被公差或公差分解出来的素因子整除时，该等差数列是能够产生素数的等差数列。 能够产生素数的等差数列的个数，以公差而定，如公差为30时，公差30=2*3*5，在30之内不能被30或30公解出来的素因子2，3，5分别整除的数为：1*2*4=8个数1，7，11，13，17，19，23，29，即，以这8个数为首项，以30为公差能够组成8个能够产生素数的等差数列。 能够产生素数的等差数列的拆分：即增加公差内的素因子个数，将一个能够产生素数的等差数列拆分为多个能够产生素数的等差数列，如1+30N拆分为以210为公差，以1，31，61，121，151，181为首项的6个能够产生素数的等差数列。 能够产生素数的等差数列猜想，从首项起取公差中最大素因子的值相同的项，能够产生新的素数。 即，能够产生素数的等差数列永远存在，表明素数永远存在。 已经被证明的定理 在一个大于1的数a和它的2倍之间(即区间(a, 2a]中)必存在一个素数。 存在任意长度的素数等差数列。(格林和陶哲轩，2004年) 一个偶数可以写成两个数字之和，其中每一个数字都最多祇有9个质因数。(挪威数学家布朗，1920年) 一个偶数必定可以写成一个素数 p 加上一个合成数 c ，其中 c 的因子个数有上界。(瑞尼，1948年) 一个偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) (中国潘承洞，1968年) 一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国陈景润) 素数算法 欲求出小于x的所有素数参见素数公式。 如何在最少的数字中，以最少的计算步骤寻找到M内的所有素数，请搜索《中国特色的素数研究》，只在M内的部分数中，素数不须要运算，一个合数只须要计算一个乘法，合数不进行重复删除，该方法适用于大范围。 为什么说该方法是最先进、是科学的素数寻找方法？因为，这里每删除的一个数，并不是一个单独的合数，而是一个合数等差数列的首项，即每删除的一个数都是删除的一个合数等差数列：保留的是所有能够产生素数的等差数列。这就是它的先进性与科学性。 而 试除法，如寻找9409到10201中的1个素数，试除法必然运算16个除法题；寻找994009到1018081中的一个素数必然运算168个除法。还存在合数的多个运算。 未解之谜编辑本段 哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之间的和？ 孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？ 斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？ 是否存在无穷多的梅森素数？ 在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？ 是否存在无穷个形式如X2+1素数？ 数目证明编辑本段 素数的无穷性的证明 素数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：  假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。 如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。 如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。 对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。 所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。 其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以了证明。 对于一定范围内的素数数目的计算 尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。 检验素数 检查一个正整数N是否为素数，最简单的方法就是试除法，将该数N用小于等于根号N的所有素数去试除，若均无法整除，则N为素数，参见素数判定法则。 2002年，印度人M. Agrawal、N. Kayal以及N. Saxena提出了AKS素数测试算法，证明了可以在多项式时间内检验是否为素数。 著名问题编辑本段 哥德巴赫猜想 在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个素数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个素数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个素数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。若哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇素数都能写成三个素数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。 黎曼猜想 黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。 在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 孪生素数猜想 1849年，波林那克提出孪生素数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。 猜想中的“孪生素数”是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。 费马数2^(2^n)+1 被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过素数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是素数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是素数。这便是费马数。费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5是一个合数。 以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是素数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个素数。 梅森素数 17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：当2^p-1 中的p是素数时，2^p-1是素数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是素数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是素数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。 梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是素数，第11个梅森数是合数。素数排列得杂乱无章，也给人们寻找素数规律造成了困难。 目前最大的已知素数是梅森素数2^43112609－1（此数字位长度是12978189，它是在2008年8月23日由GIMPS发现。迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。 人们在寻找梅森素数的同时，对它的重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。英、法、德、美等国的数学家都曾经分别给出过有关梅森素数分布的猜测，但他们的猜测都以近似表达式给出，而与实际情况的接近程度均难如人意。 中国数学家和语言学家周海中是这方面研究的领先者——他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年2月首次给出了梅森素数分布的精确表达式；后来其猜测被国际上命名为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志有一篇文章指出：这项成果是素数研究的一项重大突破。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。 素数应用编辑本段 素数近来被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入素数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找素数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。 在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成素数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。 在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的素数次数的使用也得到了证明。实验表明，素数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。 以素数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。 最新成果编辑本段 数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。而整数的基本元素是素数（也称素数），所以数论的本质是对素数性质的研究。数论被高斯誉为“数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。 发现已知的最大素数 美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯·库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大索”（GIMPS）的国际合作项目，于2013年1月25日发现了目前已知的最大素数——2^57885161-1 （即2的57885161次方减1）。该素数是第48个梅森素数，有17425170位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可超过65公里！美国数学学会发言人迈克·布林宣称：这是数论研究的一项重大突破。 研究小组在大约1000台大学里的计算机上运行GIMPS的软件，每台计算机都不间断地用了39天时间证明2^57885161-1是个素数。之后其他研究者也独立验证了这一结果。库珀通过参加GIMPS项目一共发现了3个梅森素数。 寻找梅森素数已成为发现已知最大素数的最有效途径。如今世界上有180多个国家和地区近28万人参加了GIMPS项目，并动用超过79万台计算机联网来寻找新的梅森素数。梅森素数是否有无穷多个？这是一个尚未破解的著名数学谜题。 证明“弱孪生素数猜想” 美国新罕布什尔大学数学家张益唐经过多年努力，在不依赖未经证明推论的前提下，率先证明了一个“弱孪生素数猜想”，即“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”。4月17日，他将论文投稿给世界顶级期刊《数学年刊》。美国数学家、审稿人之一亨里克·艾温尼科评价说：“这是一流的数学工作。”他相信不久会有很多人把“7000万”这个数字“变小”。 尽管从证明弱孪生素数猜想到证明孪生素数猜想还有相当的距离，英国《自然》杂志在线报道还是称张益唐的证明为一个“重要的里程碑”。由于孪生素数猜想与哥德巴赫猜想密切相关（姐妹问题），很多数学家希望通过解决这个猜想，进而攻克哥德巴赫猜想。 值得一提的是，英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。中国数学家周海中指出：要证明强孪生素数猜想，人们仍要面对许多巨大的困难。 解开“弱哥德巴赫猜想” 2013年5月13日，秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔弗戈特在巴黎高等师范学院宣称：证明了一个“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一个大于7的奇数都能被表示成3个奇素数之和”。他将论文投稿给全球最大的预印本网站（arXiv）；有专家认为这是哥德巴赫猜想研究的一项重大成果。不过，其证明是否成立，还有待进一步考证。 赫尔弗戈特在论证技术上主要使用了哈代-李特尔伍德-维诺格拉多夫圆法。在这一圆法中，数学家创建了一个周期函数，其范围包括所有素数。1923年，哈代和李特尔伍德证明，假设广义黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的；1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫更进一步，在无须广义黎曼猜想的情形下，直接证明了充分大的奇数可以表示为3个素数之和。 英国数学家安德鲁·格兰维尔称，不幸的是，由于技术原因，赫尔弗戈特的方法很难证明“强哥德巴赫猜想”，即“关于偶数的哥德巴赫猜想”。如今数学界的主流意见认为：要证明强哥德巴赫猜想，还需要新的思路和工具，或者在现有的方法上进行重大的改进。 素数表编辑本段 2~997 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009~9973 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443 5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939 5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473 6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673 6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997 7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207 7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297 7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411 7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561 7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643 7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829 7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919 7927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009 8011 8017 8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111 8117 8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 8219 8221 8231 8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 8291 8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387 8389 8419 8423 8429 8431 8443 8447 8461 8467 8501 8513 8521 8527 8537 8539 8543 8563 8573 8581 8597 8599 8609 8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677 8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731 8737 8741 8747 8753 8761 8779 8783 8803 8807 8819 8821 8831 8837 8839 8849 8861 8863 8867 8887 8893 8923 8929 8933 8941 8951 8963 8969 8971 8999 9001 9007 9011 9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109 9127 9133 9137 9151 9157 9161 9173 9181 9187 9199 9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283 9293 9311 9319 9323 9337 9341 9343 9349 9371 9377 9391 9397 9403 9413 9419 9421 9431 9433 9437 9439 9461 9463 9467 9473 9479 9491 9497 9511 9521 9533 9539 9547 9551 9587 9601 9613 9619 9623 9629 9631 9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 9721 9733 9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811 9817 9829 9833 9839 9851 9857 9859 9871 9883 9887 9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973 |
|
|
