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高中数学的精髓:数、函数与导数,颠覆很多人对高中数学的认识

2020-01-04  自石湾泿...

高中数学的精髓:数、函数与导数,颠覆很多人对高中数学的认识

对很多高中的学生特别是高三学生来说,整个高中数学最难的当属函数和导数,同时函数与导数的相关题目也总作为压轴题在考试中出现。函数与导数,涉及的内容多,考查的难度大,已经成为很多高中生、高考考生的“心病”。但函数与导数真的就这么难吗?当然不是!

今天笔者就和大家分享下对高中数学中这一部分相关知识和题目的理解,笔者从最简单的“数”讲起,探究函数的本源,说明数学中数、函数与导数之间的相互关系。

高中数学的精髓:数、函数与导数,颠覆很多人对高中数学的认识

首先,我们来说“数”,我先问大家一个问题高中数学中的“数”分为几种或几类?可能很多学生会说有实数和复数,甚至有学生会说有有理数和无理数……其实统统不对,你仔细回想下自己做过的题目,特别是函数与导数部分较难的题目,就能知道我要说的“数”共分为三大类——常数、变数(量)和参数。

常数:我们最好理解的就是常数,就是一个不变的数,利用1、2、3、1/2、2^1/2等,同时一些字母如a、b、c、m等在一些情况下也是视为常数使用。例如:函数f(x)=mx,对其求导,大家应该都知道是f'(x)=m,之所以是这个结果,就是因为,我们把m视为常数,只对x进行了求导。

变数(量):所谓变数(量)就是指变化的或不确定的数,我们最常见的两个变量就是函数中的x与y,分别为自变量与因变量,其实就是自变数和因变数,学过函数的人都知道,函数就是一个非空数集到一个非空数集的映射,因而自变量和因变量就是两个变数而已。

除了函数中有变数,整个高中数学其他我们见过有的变数的地方还有两个,一是不等式中,如a^2 b^2>=2ab中,a与b就是变数;二是在方程中,包括一次方程、二次方程、函数方程及解析几何中圆、直线、圆锥曲线的方程等,如椭圆方程中x^2/a^2 y^2/b^2=1中,x和y肯定都是变数。

参数:我们用到的参数比较特别,可以它兼具常数和变数的特性,利用在求导中其当成常数来用,最后求它的值时,这又是一个变数,所以我们平常做题时都是求一个参数的值或取值范围。

在讲到“数”的最后,我再给大家普及一个知识,数和数量到底有何不同,顺便要告诉大家为什么要在高中阶段学习弧度制。“数”就是一个单纯的数字,而“数量”则是“数 量纲”(可以简单理解为“数加单位”)。如45度就是一个数量,因为它是由数字“45”和单位“度”共同组成的,这样我们就能明白我们小学和初中用解方程做应用题时,我们要找的是等量关系而不是等数关系,因为这里的“量”就是数量,应用题中都有单位。

那么我们在高中数学中为什么要角度制化成弧度呢?现在我们就能明白了,因为前面说了函数是非空数集到非空数集的映射,简单来说就是研究数与数之间的关系,而角度制中的45度之类都是数量而不是数,只有改成了弧度制π/4才是个数,才能构成三角函数。

在明白了常数、变数、参数的分类后,我们结合考题就会发现发现,高中数学中关于数的问题,特别是函数与导数的问题,绝对脱离不开这三个“数”,因而我们拿到一道题目最先做的事就是要对其中涉及的数进行分类:哪些是常数,哪些是参数,哪些是变数。另外,根据经验,如果考试中求一个数的取值范围,那么99.99%的可能性是求一个参数的取值范围,求变数的取值范围的也有,但基本都是定义域、值域和最值。

讲完了这些理论,下面,我们就以题目来说明。直接看下面一道例题:

高中数学的精髓:数、函数与导数,颠覆很多人对高中数学的认识

我们先对本题做个分析:

a、b、c肯定均为变数(未知数),而本题只有两个方程,即三个变数(未知数)和两个方程,我们肯定求不出a、b、c的具体值,所以本题让我们求的是c的范围。题目中a、b、c均为变数(未知数),并且未给出三者的大小关系,那么a、b、c则为等价、平行关系,即本题求得的c的取值范围其实和求得的a、b的取值范围其实是完全一样的。明白这些,我们开始解题,题目要我们求c的取值范围,这肯定不是一个求定义域、值域的问题,而应该是求参数取值范围的问题。那么,我们就很快做出判断,在本题中:a和b是变数,c是参数,为了让大家更直观认识,我们不妨把a和b换成我们最熟悉、常用的变数x和y,于是笔者就从此出发得到该问题的三个解法如下:

高中数学的精髓:数、函数与导数,颠覆很多人对高中数学的认识

我们最后能将该题解出,最重要的原因就是我区分出了变数和参数,在做题前就确定了将c作为参数来处理,大家能从中感受到认识三个“数”的重要性了吧。

高中数学的精髓:数、函数与导数,颠覆很多人对高中数学的认识

再切实了解了“数”之后,我们再看函数就非常简单了,函数其实就是研究两个变数之间的相互关系。但是处理函数使一定要注意两个问题:第一,高中阶段的函数有且只能有一个自变数(自变量),并且这个自变数要有范围,即函数要有定义域;第二,函数要有明确的解析式,只有有了解析式,我们才能处理最值、范围等问题,如果题目没有明确给出的函数,我们这就需要找出一个函数关系式,这就是所谓的构造函数。

高中数学的精髓:数、函数与导数,颠覆很多人对高中数学的认识

而导数则更加简答 ,导数只是研究函数的一种工具,并且这种工具的功能只能是研究函数的单调性,因而大家千万不要把导数想的多么高大上、多么复杂。为什么说导数仅是研究函数单调性的一种工具呢?其实很简单,整个高中我们学习的关于判断和研究函数单调性的方法有以下几种:定义法、图像法、单调性的线性运算法(增加增为增、减加减为减、增减减为增、减减增为减)、复合函数的单调性(同增异减)和导数。所以,大家看到了吧,判断和研究函数的单调性有五种方法或工具,导数只是其中之一而已。

并且笔者要告诉大家,既然导数只是一种工具,那么什么时候用导数最合适呢?很简单,研究非基本初等函数才需要导数“出马”,并且函数越复杂,导数就越显示威力,基本初等函数都可以其他四种方法去解决单调性问题。

本文主要讲解了数、函数、导数之间的相互关系,并且是以讲“数”为主,今后的文章中笔者会继续详细讲解函数、导数的“本源”问题。

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