高中数学：构造函数证明不等式

不等式与函数是紧密联系的，往往不等式问题有相关函数背景，构造函数并挖掘函数性质可简化一类不等式的证明，本文举例说明。

 

一、构造函数证明不等式

例1  已知是实数，证明：

。

分析：由不等式两边的结构都是的形式联想到构造函数。

证明：设函数，易证此函数在是增函数。

因为

所以

。

 

二、构造函数证明不等式

例2  （第21届全苏奥林匹克题）正数和A、B、C满足条件

，求证：

分析：由所证式子是一次式促使我们尝试构造一次函数。

证明：由已知得：，

所以

构造一次函数

当时，此一次函数单调递增

所以。

当时，。

当时，此一次函数单调递减

所以

所以当时恒为负值，即

。

所以。

 

三、构造二次函数证明不等式

例3  设，且，求证：。

分析：由已知得：，，启发我们构造二次函数去证明。

证明：由已知得：，

所以是方程的两根

设

因为

所以解得：

所以   所以

 

四、构造函数证明不等式

例4  （2001年全国高考试题）已知是正整数且，求证：。

分析：要证：，只需证，即，由此式的结构启发我们构造函数去探寻。

证明：设，则。设

，则，且，在连续，故，即。

所以为上的减函数

所以

所以

所以

 

五、构造函数证明不等式

例5  求证：

分析：用常规方法无法证得，原不等式可化为，构造函数便有下面的证明。

证明：设，则

所以在单调递减，且在连续。

所以

即    

所以

 

六、构造函数证明不等式

例6  （2007年湖北省高考理科21题）对于正整数，已知，求证：。

分析：由已知中的及求证式中的结构使我们联想到式子。

证明：设    ①

因为

所以

由①式得

所以

所以。

 

综合以上几例可知，构造函数证明不等式的适用对象是广泛的，如果一个不等式隐含函数特点，我们就可以尝试构造相应的函数去探索，往往能收到化繁为简的效果。

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