《二次函数》专题复习

     

以微课堂

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例1：

若二次函数y＝x²＋(1－2m)x－m＋5的图像不经过第三象限，则实数m的取值范围是________

【分析】

本题应根据对称轴的位置进行分类讨论．

(1)若对称轴在y轴左侧，则应满足△≤0，或者y_min≤0

(2)若对称轴在y轴上或在y轴右侧，则根据图像所示，y(0)≥0

【解答】

【补充提问】

函数图像恒经过哪个定点？

【分析】

我们将关于x的二次函数转化为关于参数m的一次函数，

用含x的代数式作为一次项系数和常数项，

当一次项系数为0，求出x的值，即可知原函数图像恒经过的点．

此法可称为“变更主元法”，把原参(系)数作为现主元，用含原主元的代数式作为现主元的现参(系)数，使含原主元的代数式的值为0，问题得解。

【解答】

例2：

设不等式2x－1＞m(x²－1)对满足|m|≤1的一切实数m都恒成立，则x的取值范围是__________

【分析】

同例1，将关于x的一元二次不等式视作是关于参数m的一元一次不等式，

但将其作为关于参数m的一次函数处理，

用含x的代数式作为一次项系数和常数项，

当一次项系数＞0，则函数值随m增大而增大，当m＝1时，    不等式＜0

当一次项系数＜0，则函数值随m增大而减小，当m＝－1时，不等式＜0

【解答】

例3：（2014·武汉压轴）

【分析】

（1）要求一次函数图像所过定点的坐标，只需将关于x的一次函数视作是关于参数k的一次函数，令k的一次项系数为0．

（2）将两个函数的解析式联立，先求出点A、B的坐标．设点P的横坐标为a，运用水平宽×铅锤高的“宽高公式”，用a的代数式表示△APB的面积，并建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．

（3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB＝90°出发，可构造k形相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系建立含k为参数的关于t的方程，利用“变更主元法”，用含k的代数式作为t的系数，系数为0时，即可求出t的值，从而求出点D的坐标．

由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．

【解答】

(1)  y＝kx＋2k＋4

y＝(x＋2)k＋4

x＋2＝0，

x＝－2

∴定点C的坐标为(－2，4)．

（3）如图2，过点D作x轴的平行线EF，

作AE⊥EF，垂足为E，

作BF⊥EF，垂足为F．

 ∴ m＋n＝2k，mn＝－4k－8．

 ∴ －4k－8＋2kt＋t²＋4＝0，

即 t²＋2kt－4k－4＝0．

   (2t－4)k＋t²－4＝0

∴  t＝2

        以上几例只是对“变更主元法”最基本的一点探究，其中蕴含了转化，化归思想，对于求恒成立，图形过定点，求参数范围等例题，优势明显。若能灵活运用，必能事半功倍！

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