用旋转中的三点共线问题考查几何直观和分类思想

用旋转中的三点共线问题考查几何直观和分类思想

所谓几何直观，就是利用看到的图形进行思考、联想，本质上是通过图形展开的想象力。在九年级几何压轴题当中，利用几何直观的题例非常多。几何直观建立在对图形性质及变化深入理解的基础上，尤其是动态几何问题，往往不可能在题图中描述全部，需要学生想象整个运动过程，图在脑中动，能否动起来，能否动准确，就是考查学生几何直观能力的标准。

题目

如图1，E、F为正方形ABCD对角线AC上两点，∠ABE+∠FBC=45°，将△BGC绕点B逆时针旋转90°得到△BEA，连接FG，△FGC周长为√2a.

(1)若F与G关于BC对称，求∠BEF度数；

(2)求AC的长；

(3)若图1中∠CBG=30°，将△BGC从起始位置绕点B逆时针旋转n°(0<n<360)，设点G在运动过程中到AB的距离为d，当△BGC中的两顶点以及A点成共线且不重合三点时，求n°以及(√3+1)d的值.

解析：

(1)抓住图中的旋转和对称，这都属于等量转换的常见条件，旋转代表着BG=BE，而对称代表着BG=BF，于是我们可得到BE=BF，而题目中又给出了∠ABE+∠FBC=45°，因此∠EBF=90°-45°=45°，此时的△BEF成为一个等腰三角形，且顶角为45°，求得∠BEF=67.5°；

(2)题目条件中给出了△FGC周长，求AC长，于是从它们之间的关联入手分析，由于旋转变换，△FGC周长的一部分即CG长已经被转换到AE位置，还有一部分CF恰好也在AC上，于是剩下的FG是否和EF相等呢？这样它的周长正好就是AC长了，只需要证明FG=EF即可，由此想到证明△BEF≌△BGF，下面我们来找它们全等的条件。

由旋转可得△CBG≌△ABE，所以BG=BE，∠CBG=∠ABE，CG=AE，而∠ABE+∠FBC=45°，所以先求出∠EBF=45°，同时∠GBF=∠CBG+∠FBC=∠ABE+∠FBC=45°，最后加上中间公共边BF，可证明△CBG≌△ABE，因此我们前面的预想实现了，△FGC的周长全部转换到AC边了，即AC=√2a；

(3)将△BGC从起始位置开始绕点B逆时针旋转，这句话好理解，就转一圈嘛！然而后面要求△BGC中两顶点以及A点共线，颇费一点脑子，三角形有三个顶点B、G、C，到底哪两个能与A点共线呢？我们需要在备用图中作图尝试，在尝试之前，有几个条件必须要牢记，否则容易在思考过程中发生错漏，也就是△BGC的形状，它有一条边BC与正方形边长相同，有一个锐角是30°，由于旋转后点G与点E重合，这实际上意味着∠BCG=45°，这个非常重要，划重点，同时在旋转过程中，要分类寻找共线情况，图中最简单的是寻找与A、B共线，毕竟它们未动，有A、B、C'共线，A、B、G'共线两种，然后就是A、C'、G'共线，根据旋转位置不同，每种共线还有可能有多种情况，下面开始从动态角度来尝试作图分析：(旋转后的点C、G分别用C'、G'表示)

①A、B、G'共线，如下图：

也就是说旋转至点G落到AB边上，旋转角就是∠ABG，由条件可知∠ABG=120°，即n=120，此时点G'到AB距离为0，即d=0；

②A、C'、G'共线，如下图：

这个容易被忽视掉，毕竟“隔空”共线找到不易，而为什么会共线？有两个条件保证，其一是∠BC'G'=45°，其二是BC=AB，不妨连接AC'，于是△ABC'是等腰直角三角形，而∠BC'G'=45°，∠BC'A=45°，说明A、C'、G'三点共线，旋转角为180°，即n=180.此时作G'H⊥AB于点H，距离d=G'H，推导如下：

③A、B、C'共线，如下图：

当点C'落在AB延长线上时，旋转角为270°，即n=270，仍然作G'H'⊥AB，推导如下：

④A、B、G'共线，如下图：

点G'落在AB延长线上，和第一种情形比较，位置不同，此时旋转角为300°，即n=300，点G'到AB距离d=0.

综上所述，n=120时，(√3+1)d=0；n=180时，(√3+1)d=√3a；n=270时，(√3+1)d=a；n=300时，(√3+1)d=0.

解题反思

如何保证在分类讨论时不重不漏？首先要对整个运动过程了然于胸，在给学生讲解时，用几何画板或其它辅助手段很容易展现，但在考场上，是没有这些技术手段的，事实上更多高等数学中的抽象，可能辅助手段也不好使，那必须从中学阶段开始培养学生的抽象思维能力，而动态图形的想象，是非常好的素材。

在本题解答过程中，备用图是用来打草稿的，即用它多画上几次旋转后的图形，用于弥补想象力之不足，或者记录结果。平时已经形成了良好习惯的学生，即使用最“笨”的方法去挨个作图，此题最终也能解，其实并不需要作全部，作个一两个，过程就基本了解了。而此题解答失败的学生中，不考虑空白卷，已经作答的学生，作图习惯差的往往困难最大，他们在课堂上或许很认真在看老师作图，演算，但自己手中的笔未动，脑子未转，仅仅动用了听力，而正是这类学生，反复出现“一讲就会，一做就错”，属于假努力。