化归转化思想

提要

化归转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，贯穿了数学解题与数学研究的始终。初中数学里，运用化归转化的数学思想处理问题的例子比比皆是。例如，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，通过将把一元二次方程转化为一元一次方程求解，通过消元把三元一次方程组或二元一次方程组转化为一元方程求解，通过换元把复杂的问题转化为简单的问题求解……显然，“转化”揭示了解题的本质。

知识全解

一、化归转化思想的概念

在解答某一个难以入手或希望寻求简捷解法的数学题时，我们的思维就不应停留在原题上，而将原题转化为另一个比较熟悉、比较简易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的，这就是解答数学题的化归转化思想。

化归转化的实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题。当我们遇到一个较难解决的问题时，不是直接解原题目，而是将题进行转化，转化为一个已经解决的或比较容易解决的数学题，从而使原题得到解决。

二、解题策略

应用转化思想要注意以下几点：①转化后的问题要比原问题更容易、更简单；②转化后的问题应该是己知数学的问题，这样才有利于应用已有的知识与经验解决问题；③转化是有条件的，如解方程时要防止转化后出现增根或失根等。

在平时的学习中，要善于观察，挖掘数学问题的内在联系，要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集，积累联想，转换的实例，把新知识与认识结构中已有的知识建立起实质性的联系。只有这样才能合理，快速，准确地进行转化“巧妙”才能显得自然。

经典例题

类型1 高次向低次的转化

类型2 多元转化为一元

例2 若x:y:z=1:2:3,且3x+4y-5z=16,则x-3y+2z的值是多少？

【解析】设x=k，则y=2k,z=3k，代入3x+4y-5z=16得3k+8k-15k=16,解得k=4。

从而x= -4，y=-8，z=-12

∴x-3y+2z= -4-3×(-8)+2×(-12)= -4

【点评】解决有关连比的问题时，常见的思路是设其中的一份为k,然后用k替换题目中的未知数，从而把多元问题转化为一元问题获得解答，

类型3特殊与一般的转化

例3 如图（1）所示，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图（2）最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1___S2(用“>”,“<”或“=”填空)

【解析】把图(1)中的阴影部分沿对角线OD对折，则两个阴影拼在一起组成矩形ACDF,因为正方形OCDE的边长为1，所以正方形的对角线长√2、所以OA=√2，S1=S矩形=√2-1；把图(2)中的阴影部分通过旋转即可拼在一起组成1/4圆，故S2=π/4。所有S1<S2。

【点评】本题通过将图形（或部分）进行旋转或翻折，使图形特殊或图形的位置特殊，进而简捷求解．

类型4 分散转化为集中

例4 如图所示，在反比例函数，y=2/x(x>0)的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1、2、3、4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=____

【解析】由题意及图象可知，3个阴影长方形的长都为1，设P1(1，y1)，P2(2,y2),P3（3，y3），P4(4，y4),代入y=2/x(x>0)可求得y1=2, y2=1，y3=2/3,y4=1/2，所以S1+S2+S3=1×(y1-y4)=1×(2-1/2)=3/2

【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，把分散的带阴影的几何图形集中起来，问题便迎刃而解了。

真题演练

例1 利用化归转化思想求立体图形表面两点间的最短距离问题

如左图所示，圆柱形容器高18cm．底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为____cm

【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，轴对称以及勾股定理的应用。关键是在长方形上找出蚂蚁行走的路径，通过“化曲面为平面”，据“两点之间线段最短”得出最短路径，然后构造出直角三角形，利用勾股定理进行解决。

例2 利用化归转化思想求圆中阴影部分面积问题

如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠A=60度，以点B为圆心的圆与AD,DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E,F，则图中阴影部分的面积为（）

A．√3+π/2 B．√3+π C．√3-π/2 D.2√3+π/2

【点评】求圆中阴影部分的面积一般都通过转化，将不规则的阴影部分转化为规则图形的面积和（或差）．

例3利用化归转化思想解决动态问题

如图1所示，形如量角器的半圆O的半径OE=3cm，形如三角板的△ABC中∠ABC=90度，AB=BC=6cm，△ABC以2cm/s的速度从左向右匀速运动（点B运动到E点时，运动停止），在运动过程中，点A、B始终在直线DE上，设运动时间为t (s)，当t=0时，△ABC在半圆O的左侧，BD=1cm。

【解析】(1)由题意可得：BO=4cm,t =4/2=2 (s)

(2)如图2所示，设AC切半圆O于点H，连接OH,则OH⊥AC

∵∠A=45度，∴AO=√2OH=3√2(cm)

∴AD=AO-DO=3√2 -3 (cm)

(3)如图3所示，连接EF.

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD

∵DE为直径，

∴∠ODF+∠DEF=90度，∠DEC=∠DEF+∠CEF=90度

∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG

又∵∠ FCG=∠ECF,

∴△CFG∽△CEF，∴CF/CG=CE/CF

【点评】解决动态问题的一般思路是“动静转化---动中取静，以静制动”。