七年级数学：数轴上的动点问题

数轴最适合进行数形结合的“启蒙”，毕竟已经扩充到了实数，初中阶段的“数”是够用了，然而理解点与数之间的对应关系，确并不那么容易，正如七年级学生容易忽略负数一样，在数轴上，一旦涉及到平移，也容易只想往一个方向而忽略另一个方向，只有经历几次这种磨练，平移要先确定方向，解动点问题的目的才算达到。

题目

如图1，长方形OABC的边OA的数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，边OC的长为3，长方形的边长单位与数轴的单位长度相同.

(1)求数轴上点A表示的数；

(2)将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O'A'B'C'，移动后的长方形O'A'B'C'与原长方形OABC重叠部分面积记为S，S>0.

①如图2，若S=4，求数轴上点A'表示的数；

②设点A移动的距离为x，线段AA'的中点为D，点E在射线O'O上，且OE=2/3OO'，若DE=a，求x的值.

解析：

(1)长方形OABC面积为12，一边OC为3，则另一边OA=4，所以点A表示4；

(2)请注意平移，平移有两个要素：方向和距离，在解题时一定要强调它们。

①S=4，相当于告诉我们O'A=4/3，这是一个打着面积幌子的动点问题，前一小题中我们得到长方形边长OA=4，于是可求出AA'=8/3，因此得到点A'表示的数是4+8/3=20/3；

②若点A向右平移，如下图所示：

其中AA'=x，则OO'=x，得到OE=2x/3，由于DE=a，我们将DE作是线段OD+OE，其中OD=4+x/2，但OE有多长呢？回到原题中的描述，点E在射线O'O上，也就是说，自O'开始向左所有的部分都有可能，因此点E可能在点O左侧，也有可能在点O右侧，因此需要分两种情况，再加上a本身可代表任何数，正、负均可，但线段长度不可能是负数，还要加绝对值符号，列方程如下：

|4+x/2±2x/3|=a，解得x=24-6a或(6a-24)/7；

若点A向左平移，如下图所示：

其中AA'=x，则OO'=x，OE=2x/3，DE依然可分为OD+OE，按上述方法进行分类，得方程|4-x/2±2x/3|=a，解得x=6a-24或(24±6a)/7；

综上所述x=24-6a或6a-24或(6a-24)/7或(24±6a)/7.

解题反思

这道题目在最后一问中有多种情况需要讨论，这极考验学生的分类思想，因为点的位置并不确定。处理这种数轴上的距离问题，最佳工具是绝对值，虽然带绝对值符号的方程对七年级学生来讲略有难度，但可通过分类化成两个一元一次方程。实质上，对于数轴上的动点问题，把握住运动关键点、关键线段的长度，然后寻找合适的数量关系列方程，始终是通法。