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1、弦切角： 如图1，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角,，为弦切角。 2、弦切角定理：弦切角，等于它所夹的弧AB所对的圆周角。如图2，∠BAC为弦切角，弧AB为其所夹的弧，则有：∠BAC=∠BAD=∠BEA。 简证：∠BAC+∠BAD=90°------① ∠BDA+∠BAD=90°------② ①-②得：∠BAC=∠BDA。 若图中出现的是∠AEB这种情况呢？则构造以直径为斜边、弦为一直角边的直角三角形来证明，然后利用圆周角定理说明相等即可。 性质推论①：弦切角，等于它所夹的弧AB所对的圆心角的一半。 性质推论②：两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角相等。 【提炼升华】在圆中，如果出现了切线和经过切点的割线，则必存在弦切角。 3、切割线定理：从圆外一点，引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。 如图3：PA与圆相切，PC与圆相交于B、C两点，则有：PB:PA=PA:PC。变型得：PA2=PB×PC。 简证：如图4，连接AB、AC，则根据弦切角定理，易证△APB∽△CPA，从而易得PB:PA=PA:PC。 切割线定理的推论：从圆外一点，引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图5，PB交圆O于A、B两点，PD交圆O于C、D两点，则有： PA×PB=PC×PD。 【补充】若担心直接用弦切角定理老师不给分，则可以简单证明∠BAP=∠BCA，证法如下：如图6，连接OA，作OE⊥AB于E，根据圆周角定理和垂径定理，易得∠EOA=∠ACB；根据切线的性质和直角△角度的互余关系，易得∠BAP=∠EOA。故∠BAP=∠ACP。 这两个定理，初数人教版并没有给出，但试题中又会涉及到，所以，补充学习，十分必要。接下来，我们看几个中考题。 【题1】（2017·乌鲁木齐）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D． （1）求证：△ADC∽△CDB； （2）若AC=2，AB=1.5CD，求⊙O半径． 【简析】（1）法一：直接用弦切角定理，秒得∠BCD=∠CAD。又因为∠D为公共角，故得证。 法二：由图可得∠BCD为弦切角，我们可以采取弦切角定理的证法来推导角度相等。过程如下：连OC，如下图，根据切线的性质和直径所对圆周角的性质，易证∠BCD=∠CAD；又因为∠D为公共角，故△ADC∽△CDB。 （2）设CD=4m，则AB=6m，OC=OB=3m。 由勾股定理得：OD=5m。 所以：BD=OD -BO=2m 由（1）得：△ADC∽△CDB 故有：BD：CD=BC：CA，代入解的：BC=1。根据勾股定理，便可求出直径。 【题2】（2017·恩施州）如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC． （1）求证：BC平分∠ABP； （2）求证：PC2=PB·PE； （3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半径． 【简析】（1）因为BE∥CD，所以∠PBC=∠OCB -------① 因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB -------② 联立①②得，∠PBC=∠OBC。得证。 （2）典型的切割线定理题。连接CE，直接用弦切角定理，便可以证相似。根据“等积变等比，等比找相似”的思想的逆思想，便可以证得结果。 连接AC，CE。易证∠CAB=∠CEB=∠BCP。又因为∠P=∠P，故有△BPC∽△CPE。根据相似三角形的相似比，便可推导出结果。 （3）结合第（2）问的结果，利用方程思想便可解决。 弦切角这个基本图形，在圆周四处可见。我们来看几个题吧！ 【题1】（2017·鄂州）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E． （1）求证：弧BE=弧CE； （2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，求BE的长； （3）若MA=6√2，sin∠AMF=1/3，求AB的长． 【题2】（2017·天门）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB． （1）求证：CE=CB； （2）若AC=2√5，CE=√5，求AE的长． 【题3】（2018·黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C． （1）求证：∠CBP=∠ADB． （2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长． |
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