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思想应当诞生在学生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事。最有效的教育方法不是告诉人们答案，而是向他们提问；逆境是人类获得知识的最高学府，难题是人们取得智慧之门；发光并非太阳的专利，你也可以发光。 ——苏格拉底（Socrates） 雅典的商业繁荣持续了半个多世纪，因为与斯巴达人的相互猜忌与不和引发了伯罗奔尼撒战争。在公元前404年雅典人战败投降后，雅典的影响开始走向衰落。 但思想的繁荣未央，黄金时代正在到来。 在智者学派之后领导数学活动的是柏拉图学派，数学从这里开始走向系统化。 一、柏拉图学派的先驱者 北非昔勒尼（Cyrene）地方的特奥多鲁斯（Theodorus）和意大利南部塔伦腾（Tarentum）的阿基塔斯（Archytas）这两位毕达哥拉斯学派的学者都曾经教过柏拉图，可能因此使整个柏拉图学派受到毕达哥拉斯学派的强烈影响。 特奥多鲁斯广为人知的是他证明了3~17之间的非平方数（即其方根并非整数者）的平方根都是无理数。 阿基塔斯是塔伦腾的统领，也是哲学家、数学家和天文学家。传说柏拉图《理想国》中描述的乌托邦的哲学家国王，就是以阿基塔斯为原型的。 阿基塔斯引入了曲线是动点的轨迹，曲面是曲线移动产生的思想。他还从求出两个给定量之间的两个比例中项来解决倍立方问题。这两个比例中项是用几何方法在求出三个曲面交点之后做出的。这三个曲面是圆绕其一条切线旋转而生成的曲面、一个锥面和一个柱面。他还发明了一种机械装置来计算其中无法用尺规作出的比值。因此，他也成了“机械数学”方法的创始人。这种做法非常麻烦，柏拉图一直不认可借助机械解决数学问题，但这种“机械数学”方法实际上有着深刻的含义：他把数学问题转化为物理问题来解决。 阿基塔斯还把古希腊的数学乐理提高到一个空前的高度。他证明了，全音阶的音程之间的关系具有n+1比n的关系，比如，2∶1、4∶3、3∶2、9∶8，等等，而不可能具有等值几何比那样的关系。 第一台自动机器是由Tarentum的Archytas设计的，他今天被认为是数学力学之父。 Archytas的鸽子是一款蒸汽动力自动飞行器。它的木质结构是根据鸽子的解剖结构设计的，里面装有一个密封的锅炉，用于生产蒸汽。蒸汽的压力最终会超过结构的阻力，使得机器鸟可以飞行。 当然，对柏拉图影响最大的肯定是苏格拉底。虽然苏格拉底对国家的兴趣大过对数学的兴趣，但他的思想、品行、经历深刻塑造了柏拉图。他是苏格拉底最好的学生。柏拉图留下的众多对话，大都是以苏格拉底为主要角色。柏拉图称他的导师是“我所见到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。 传说在柏拉图成为苏格拉底学生的头天晚上，苏格拉底梦见一只天鹅来到膝上，很快羽翼丰满，唱着动听的歌儿飞走了。 柏拉图年轻时曾有志于政治，苏格拉底之死改变了他的命运，令他改变初衷，决定以思辨、学术、探索和追求理念的永恒国度为终身职志。这是希腊文明的大转折！ 二、柏拉图与柏拉图学院 柏拉图（Plato，公元前427年—公元前347年），是古希腊伟大的哲学家、思想家、教育家和数学家，也是整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一。他与老师苏格拉底、学生亚里士多德合称希腊三贤，公认为西方哲学的奠基者。他们在哲学、数学、科学、文学、艺术、政治等广泛领域做出的非凡贡献在全世界范围内影响至今。 柏拉图生于雅典奴隶主贵族家庭，宣称是古雅典国王卡德鲁斯的后代。他的父亲是阿里斯通 (Ariston) 、母亲是伯里提俄涅 (Perictione) ——雅典执政官、七贤之一梭伦的后裔。由于柏拉图出色的学习能力和其他才华，古希腊人还称赞他为阿波罗之子，并称其婴儿的时候曾有蜜蜂停留在他的嘴唇上，所以口才如此甜蜜流畅。 年轻的柏拉图立志从事政治，他参加过伯罗奔尼撒战争，表现得十分勇敢。但老师苏格拉底因“腐蚀青年思想”等罪名而死的命运对柏拉图影响很大，他深信有良心的人不能搞政治，因为政治太丑恶肮脏了。 苏格拉底死后，柏拉图离开雅典，开始了长达 10 年的游历，先后去往小亚细亚、埃及、昔兰尼（今利比亚）、南意大利和西西里等地。途中，柏拉图接触了多位数学家，并亲自钻研数学。 公元前387年，柏拉图在雅典西北郊阿卡德米创办了一所颇似现代私立大学的学院（Academy，今意科学院或高等学府）。学院里有教室、饭厅、礼堂、花园和宿舍，柏拉图担任园（校）长，并和他的助手们负责讲授各门课程，其中数学和哲学是最受欢迎的学科。除了几次应邀赴西西里讲学以外，他在学院里度过了他生命的后 40 年，学院更是奇迹般地存在了 900 年。 据说，学院门口立了一块牌子：“不懂几何者不得入内！” 柏拉图是他那个时代最有学问的人，但他不是数学家。不过他热心数学，并深信其对哲学和了解宇宙的重要作用，这就鼓励了数学家们钻研数学。特别要指出的是，公元前4世纪时几乎所有重要的数学工作都是柏拉图的朋友和学生做出的。柏拉图本人则似乎更关心把已有的数学知识加以改进并使之完美。 柏拉图还是西方教育史上第一个提出完整的学前教育思想并建立了完整的教育体系的人，第一次提出了“四科”（算术、几何、天文、音乐），其后便成了古希腊课程体系的主干和导源，支配了欧洲的中等与高等教育达1500年之久。 三、柏拉图学派的数学贡献 1、数学概念抽象化 柏拉图说数同几何概念不含物质性，因而和具体事物不相同。数学概念不依赖于经验而自有其实在性。它们只能为人所发现，并非为人所发明或塑造。“必须跳出茫如大海的万变现象而抓住真正的实质......这是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径......”柏拉图学派重视抽象观念，并要把数学思想当作进入哲学的阶梯。数学家所处理的抽象观念和诸如善良、公正等其它抽象观念是同一类的，而了解这两者乃是柏拉图哲学的目标。数学是认识理想世界的准备工具。 2、强调演绎结构 柏拉图学派关心证明，关心推理过程的方法论。第一类是分析方法：将待证事项作为已知，然后由此推导出一些结论，直到得出一个已知的真理或得到矛盾。若得出矛盾，则待证的结论谬误。若得出一个已知真理，则把推理步骤倒过来就做出证明。第二类是归谬法或间接法。 柏拉图肯定知识有加以演绎整理的需要。科学的任务是发现（理想）自然界的结构，并把它在演绎系统里表述出来。柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人，他的门徒按逻辑次序整理了定理。从柏拉图时代起，数学上要求根据一些公认的原理作出演绎证明。由于坚持数学里必须用演绎推理作为求证的唯一方法，希腊人得以把此前几千年来数学里的所有法则、步骤和事实全部抛弃，并使数学区别于所有别的知识领域或研究领域。 也正是柏拉图学派独尊演绎证明、排斥机械工具，古希腊时代的实验科学和机械科学发展不力。 3、数学家的缔造者 柏拉图学派改进了数学概念定义的准确性，证明了平面几何中的新定理。由于天文学的需要，他们特别重视对立体几何的研究。他们研究了棱柱、棱锥、圆柱和圆锥，并且知道正多面体最多只有五种——由泰阿泰德（Theaetetus）证明。 柏拉图学派最重要发现是圆锥曲线，这归功于米奈克穆斯（Menaechmus）：他利用三种圆锥——直角的、锐角的和钝角的，再用垂直于锥面一母线的平面来割每个锥面。当时他们只知道双曲线的一个支。 柏拉图学派的其他数学研究工作中还包括泰阿泰德对不可公度量的研究，他考察了其他一些而且属于更高类型的无理数并将其分类。从中可以看出数系是怎样推广到更多的无理数的，而这是用几何方法研究的。另一柏拉图学派学者狄诺斯特拉托斯（Dinostratus）指出怎么用割圆曲线来化圆为方。欧多克索斯、亚里士多德、欧几里得都曾在柏拉图学院学习。 美国数学史家波耶（Boyer）评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别杰出的学术成果，然而，他却是那个时代的数学活动的核心，……他对数学的满腔热忱没有使他成为数学家，但却赢得了‘数学家的造就者’（the maker of mathematicians）的美誉。” 柏拉图的《蒂迈欧篇》中有这样一段话：“倘若他对于知识与智慧的热爱是认真的，并且运用心智过于身体其余部分，那么自然就会有神圣和永恒的思想；倘若他获得真理，就必然会得到人性所能够赋予的最充分的永生......他就将得到无上幸福。” 13世纪晚期法国流传的一幅画，描述上帝创世的情景。祂使用圆规，按照几何的方式去设计宇宙。此画显然受柏拉图《蒂迈欧篇》的影响。 下一讲神明似的欧多克索斯。 |
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