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哪里有数，哪里就有美。——普罗克洛斯（Proclus） 一、背景 古典希腊人把计算技术叫logistica，而算术（arithmetica）则指数论。古典数学家蔑视计算技术，因它只谈商业贸易的实际计算。从泰勒斯到欧几里得的300年间，这门技术没什么进展。 古典希腊人的数字系统有几次演变。初期他们用一些特殊的符号和记号来表示数，并用一种算盘的之类的东西进行计算。大约公元前500年改用希腊数字系统。毕达哥拉斯学派是用石子来计算的，因“calculus计算”这个词的原意是石子。“abacus算盘”的希腊文原意是沙，这说明在引用算盘以前，他们是在沙地上画点记数的。然后不知为什么改成了完全用字母记数的爱奥尼亚制。这种记数制是亚历山大时期希腊数学里最通用的，可以在托勒密的《至大论》中看到。古代叙利亚人和以色列人也用。 阿基米德的《数沙》给出了写大数的一套方案，其重点不在于方案本身，而是发表了可以把数写得大到不受限制的思想。 对于用上述方式写出的整数的算术运算，同今天一样用竖式加减进退位。分数是用单位分数之和表示的，但中间没有加号。亚历山大的希腊天文学家采用巴比伦人的60进制分数，托勒密的说法是为了避免用普通分数所引起的麻烦。 亚历山大数学家把分数本身当作数来看待，并且随意用来运算。而古典时期数学家则只提到整数之比，不提整数的部分，而且只在比例中用到比。 古典希腊时期回避开平方的运算，而无理数根本没有地位。亚历山大时期从海伦开始就用迭代法求平方根的近似值。 二、算术和代数作为一门独立学科的发展 阿基米德、阿波罗尼奥斯和托勒密用算术来计算几何量，用几何代数法来保证数的运算的逻辑基础，迈出了算术和代数独立发展的第一步。而海伦、尼科梅切斯和丢番图则把算术和代数问题本身作为问题来处理，既不依靠几何引出，也不用它来作逻辑依据。这使算术和代数真正发展成了一门独立学科。 1.海伦的工作 海伦用纯粹算术方法提出和解决代数问题。他没有采用特别的符号，而是用文字来陈述。例如：给定一正方形，知其面积与周长之和为896，求其一边。这相当于今天求方程x²+4x=896的根。海伦的做法是两边加4配成完全平方然后开方。他不进行证明而只描述如何运算，而这正是古代埃及人和巴比伦人提出问题和解决问题的方式。对于海伦而言，代数是算术的推广。 海伦在《几何》一书中提到加一块面积、一个周长和一个直径，这些话的意思即加上它们的数值。同样，当他说用一个正方形乘一个正方形，意即求两个数值的乘积。 海伦在这方面的工作有时被人估计为希腊几何学衰落的开始。但更应该作为巴比伦和埃及数学在希腊人手里的一个改进。 海伦发明的世界上第一台自动贩卖机 2.尼科梅切斯的工作 从算术以一门独立学科重新出现这一角度来讲，尼科梅切斯（Nichomachus，约公元100年）的著作是更重要的。他撰写了包含两篇的《算术入门Introductio Arithmetica》一书。这是第一本篇幅颇为可观的完全脱离几何讲法的算术（意即数论）书。从历史意义上讲，它对于算术的重要性可以和欧几里得的《原本》对于几何的重要性相比。书中，数代表对象的数量而不再像欧几里得书中那样用线段来形象化。他只论述整数和整数的比。 尼科梅切斯使毕达哥拉斯的传统重新活跃起来。他认为在柏拉图所强调的四门学科（算术、几何、音乐和天文）中，算术是其它各科之母，没有算术别的学科就不能存在。而其它学科被取消，算术仍能存在。 《算术入门》的主要内容是早期毕达哥拉斯派在算术方面的工作，尼科梅切斯讲述了偶数、奇数、正方形数、矩形数和多角形数。他也论述了质数和复合数以及六面体数【形式为n² (n+1)的数】，此外又定义了别的许多种数。他给出了1到9的乘法表，和今日学习的九九表一模一样。 尼科梅切斯比毕达哥拉斯学派更能发现一般性的关系（虽然并未证明）。例如：第（n-1）个三角形数加上第n个k角形数会得出第n个k+1角形数；第（n-1）个三角形数加上第n个正方形数得出第n个五角形数。 再如：第n个三角形数，第n个正方形数，第n个五角形数等形成一个递进算术数列，其公差为第（n-1）个三角形数。 他发现：若奇数1、3、5、7、9、11、13、15、17......的第一数是1的立方，其后两数之和是2的立方，再往下三个数之和是3的立方...... 尼科梅切斯给出四个完全数6、28、496、8128，并重复给出欧几里得关于完全数的公式。他把各种各样的比加以分类，并给他们起名，其中包括（m+1）：m，（2m+n）：（m+n）以及（mn+1）：n。这些比在音乐上很重要。 他也研究比例，并说这对“自然科学、音乐、球面三角和平面几何，尤其是对于研究古代数学家”非常必要。他给出好多类比例，其中有音乐比例 他又给出埃拉托斯特尼筛，这是较快得出质数的方法。先把3以后的奇数写下来，然后划掉3的倍数，其次去掉5的倍数，然后去掉7的倍数......剩下的数连同2就是质数。 尼科梅切斯用举例来说明和解释他提出的定理，不用演绎证明。 《算术入门》之所以有价值，是因为他对整数和整数之比的算术作了有系统、有条理、清楚而内容丰富的叙述，而且完全不依赖于几何。里面还收集了关于数的思辨方面的、美学上的、神秘性的道德性的臆说，但没有谈实际应用。《算术入门》在此后1000年间成为一本标准课本。自尼科梅切斯之后，算术而不是几何成为风行于亚历山大时期的学问。 用代数技巧解问题的书也问世了。有些问题正是公元前2000年巴比伦书本里或莱因德草片纸上所载的。自尼科梅切斯之后，人们拿那些导出方程的代数题作为一般消遣的难题。这种题目约有50到60个保留在10世纪的一本书里（Palatine Codex of Greek Epigrams）。这里面至少有30题被认为是梅特罗多鲁斯（Metrodorus，约公元500年）所提出的，但肯定以前就有：阿基米德牛群问题，欧几里得提出的关于骡子和驴驮运粮食的问题，求桶里注满水所需时间的问题以及年龄问题。 3.丢番图的工作 亚历山大时期的希腊代数到丢番图（Diophantus，约公元246—330年）时臻于最高点。他是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，以代数学闻名于世。他的著作远远超出他的同时代人，但可惜出来得太晚而不能对他那个时代起太大影响，因为一股吞噬文明的毁灭性浪潮正在掀起。 代数之父——丢番图 《算术》（Arithmetica）是丢番图最重要的著作，也是代数史上影响深远的一部著作，可与《几何原本》一较高下。全书共13卷，但15世纪发现的希腊文本仅6卷。1973年伊朗境内的马什哈德又发现了4卷阿拉伯文，这样，现存的有10卷，共290个问题。 1621年版《算术》 作者在题词中说这是为帮助学生学习这门课而写的一些练习题。丢番图作出的一步重大的进展是在代数中采用一套符号。他使用三次以上的高次乘幂更是件了不起的事。古典希腊数学家不能也不愿考虑含三个以上因子的乘积，因为这种乘积没有几何意义。但在纯算术中，这种乘积却确有其意义；这正是丢番图所采取的观点。因此套记号，后人把丢番图的代数称作缩写代数，而把埃及、巴比伦、海伦和尼科梅切斯的代数称作文字叙述代数。从此代数摆脱了几何的束缚，直到解析几何出现，两者的重要程度完全易位。 丢番图的解题步骤是像散文那样一个字接着一个字写的。他做的运算是纯算术性的，不求助于几何直观来作具体说明。他还应用了恒等式和换元法，虽然并未明确名称。 《算术》第一篇的内容主要是那些引出确定的一元或多元一次方程的问题。其余五篇的内容主要是二次不定方程。 第一篇，问题27：求两数使其和为20而乘积为96。 丢番图的解法：2x为两数之差，两数分别为x+10和x-10，于是100-x²=96，x=2，两数分别为12与8。这个解法用到均值与和差的技巧。 丢番图代数的最突出之点是他对不定方程的解法。他是这门代数的创立人，这门代数如今就称作丢番图分析。 丢番图所解问题包括一次、二次、三次和高次方程。 第一篇，问题8：把一给定平方数分成两个平方数。 取16作为给定的平方数，得出256 /25和144 /25。这个问题经费马（Pierre de Fermat）加以推广，使他提出x^m + y^m = z^m当m > 2时就无解。——费马大定理！ 第二篇，问题9：已给一数为两个平方数之和，把它分为另外两个平方数之和。 取13 = 4 + 9作为所给的数，得出结果是324/25及1/25。 第三篇，问题6：求三个数，使它们的和以及它们之中任两数的和都是平方数。 丢番图给出80、320和41。 第四篇，问题1：把一给定的数分为两个立方数，并使其每边之和为给定的数。 丢番图以370为给定的数，以10为给定的两边之和，得出343及27。所谓边是指立方数的立方根。 第四篇，问题29：把一给定的数表示为四个平方数与其各边之和。 以12为给定的数，他得出四平方数为121/100、49/100、361/100和169/100。它们的边是每个平方数的平方根。 第六篇，问题1：求一（有理边）直角三角形，使斜边减去每直角边后得出一立方数。 丢番图凑巧得出整数解40、96和104。但他一般得出的是有理数根。 丢番图只接受正有理根而忽略所有其他根。甚至当二次方程有两正根时，他也只给出较大的一个。当一个方程在求解过程中明显看出要有两个负根或虚根时，他就放弃这个方程，说它是不可解的。在出现无理根的情况下，他就倒算回去，指出怎样改变一下方程，就能使新方程具有有理根。这方面丢番图和阿基米德以及海伦不同。海伦是个测绘人员，他接受无理数，但为得出有用的数值便取近似值。阿基米德当解是无理数时就用不等式来限定它的范围。丢番图是个纯代数学家，由于他那个时代的代数不承认无理数、负数和复数，他就放弃具有这种解的方程。但丢番图承认分数是数，而不仅仅把它看成整数之比。 丢番图在把各类方程转化为他能解的形式方面才华横溢，但没有一般性的方法。《算术》里的290个问题每个都用不同的方法解。他的问题共有50多种类型，但他没有试图进行分类。他的方法更接近于巴比伦人甚于他的希腊前辈，但超过巴比伦人的地方是引用了一套符号并解了不定方程。《算术》里吸收了巴比伦人的计算技巧，而这是被柏拉图排斥在数学之外的。 丢番图解个别问题所用方法之多使人目不暇接，但未能击节叹赏。他是个巧妙而聪明的解题能手，但显然不够深刻，未能看出他所用方法的实质而加以概括。（现今的丢番图分析仍然是由个别孤立问题组成的一团乱麻。）他不像一个探求普遍概念的深邃思想家，而只是为了寻求正确的解答。他只有很少数的结果可说是具有一般性的意义——如形式为4n+3的质数不能表为两平方数之和。欧拉（Euler）曾认为丢番图是用特例来说明一般方法的，因为那时候未能用字母来代表系数。还有别的人相信丢番图认识到他的材料是属于抽象的基本科学的。不过整个说来他的工作在代数上是永垂不朽的。
丢番图的墓碑上有很经典的一道数学题目（答案是他死时岁数）： '坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。 上帝给予的童年占六分之一， 又过了十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子， 可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。 终于告别数学，离开了人世。 今日数学里非常重要的一件事却在希腊代数里遗漏了，这就是用字母来代表一类数，例如方程中的系数。亚里士多德、欧几里得、帕普斯等人曾有过这种做法，但都没有认识到字母表示法在增进代数方法的功效与其普遍性方面作用是何等巨大。 亚历山大时期代数的另一特色是缺乏任何明晰的演绎结构，整数、分数和无理数等各种类型的数未经定义。也没有一套公理来建立演绎结构，数学家就像开药方子一样只说怎么做，却没有为什么这么做的说明。欧几里得、阿波罗尼奥斯和阿基米德著作中那种演绎的、条理井然的证明全然不见。所解的问题都是归纳性质的，就是说它们所指明的解具体问题的方法虽然能应用于一般性的一类问题，但并未规定应用的范围能有多广。 由于古典希腊学者所做的工作，使人觉得数学结果好像都是依据一组明文规定的公理用演绎法推出来的，因此出现独立的一门算术和代数而竟无其自身的逻辑结构这种情况，就成为数学史上的一大问题。虽然亚历山大的希腊代数学家是一点不在乎这一缺陷，但以后可以看到这确使欧洲数学家深感不安。 下一讲希腊数学与自然的关系。 |
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