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数学是科学的大门和钥匙。——罗吉尔·培根（Roger Bacon） 一、希腊数学的目的 希腊数学经典著作如欧几里得的《几何原本》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》和阿基米德的几何著作都给出了形式的、尽可能完善的演绎数学，但为什么要讲究这种形式呢？现代数学课本也一样，只是把已有的数学成果整理讲解，却闭口不谈数学的目的何在，定理是怎样启发和摸索出来的，数学知识又是怎样应用的。 当托勒密直接声明他是为研究天文而创立三角学的，当我们知道欧多克索斯主要是个天文学家，而欧几里得不仅只写《原本》，还有《现象》（用于研究恒星天球运动的球面几何著作）、《光学》、《镜面反射》、《音乐原理》（Elements of Music）和其它力学方面的短篇著作（都是数学性的），就不能不得出结论说数学并非一门孤立的学科。 知道了人的心智活动是怎样进行的，而且详细知道了欧拉和高斯是怎样进行工作的，就可以相当肯定地说，那些天文、光学和音乐方面的研究必定启发他们提出数学问题，因此研究数学的目的很可能是为了用之于这些领域。球面几何（sphaeric）很可能是在天文学数学化之际进行研究的，毕达哥拉斯学派所说的“sphaeric”是指“天文学”。 我们也能从希腊哲学家（他们本人也是杰出的数学家或科学家）的著作中得知数学的范围并不限于数学本身。在古典时期数学包括算术、几何、天文和音乐；在亚历山大时期数学分为算术（数论）、几何、力学、天文学、光学、测地学、声学与应用算术。 至此，我们可以确定：希腊人对了解自然界有那么一股迫切而不可遏制的愿望，推动他们创造和重视数学。数学是研究自然界的利器，是了解宇宙的钥匙，因为数学规律是宇宙布局的精髓。 二、希腊自然观 在早于希腊时代或与之并存的古代文明中，自然界被认为是混乱、神秘、变化无常和可怖的。自然界的现象被天神操纵，祈祷和巫术可以让天神发慈悲免降灾祸甚至创造奇迹赐福于人，但人的生命和命运是完全听凭于他们的。 埃及众神 但我们发现约公元前600年的希腊知识分子对自然界采取一种完全新的态度：合理的、批判的和世俗性的。他们抛弃神话，不相信天神的喜怒哀乐能操纵人和世界。新的信念认为自然界是有秩序的并始终按照一定的方案运行。他们深信人的智慧是强有力的甚至是至高无上的，人不仅可以探索自然界的道理甚至还能预知它将会出现的时态。 诚然，持这种理性观点的只有古典时期和亚历山大时期的一小群知识分子。爱奥尼亚学派是最早断定自然界实质的人，他们肯定在一切表面现象的千变万化中有一种始终不变的东西。这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形态都可用它来解释。这种自然哲学来自一系列大胆的思索、巧妙的猜测和聪敏的直观，而非广泛的、细致的科学研究的结果。 也许他们有点太急于想认识全貌，所以就幼稚地断然作出广泛的结论。但他们确实从物质的和客观的方面来解释宇宙的结构和设计布局，而抛弃老的神话故事。他们用合理化的解释来代替诗人的想象和不加分析的传说，并且他们用理性来辩护他们主张。他们至少敢于凭理智来面对宇宙，而不肯依赖于神、灵、鬼、怪、天使以及其他神秘的力量。 希腊十二主神 三、希腊数学观念的形成 1.毕达哥拉斯学派的观念 把对自然作用力的神秘、玄想和随意性去掉，并把似属混乱的现象归结为一种井然有序的可以理解的格局，走向这方面的有决定意义的一步是数学的应用。第一批提出这种合理化的和数理哲学性自然观的人是毕达哥拉斯学派。 毕达哥拉斯派的宗教思想是带神秘色彩的，但他们的自然哲学却是理性化的。他们在不同性质的现象上看到了相同的数学性质，于是认为数学性质（数与数的关系）必然是这些现象的本质所在。数是他们解释自然的第一原则，所有物体都由点或“存在单元”按照相应的各种几何形象组合而成。数既是点又是物质的元粒，所以数是宇宙的实质和形式，是一切现象的根源。毕达哥拉斯派的信条是：万物皆数！ 毕达哥拉斯派把音乐归结为数与数之间的简单关系，是因为发现了下列两个事实：第一，弹弦所发出的声音取决于弦的长度；第二，绷得一样紧的弦若其长度成整数比，就会发出谐音。毕达哥拉斯派也搞出了一个著名的希腊音阶（musical scale）。欧几里得和托勒密也写过音乐方面的著作，还制定过音阶。 毕达哥拉斯派把行星运动归结为数的关系。他们相信物体在空间运动时发出声音，又相信动得快得物体比动得慢的物体发出更高的音。离地球越远的行星动得越快，因此行星发出的声音因其离地球的距离而异而且都配成谐音。此所谓“球体的音乐”。 晚期的毕达哥拉斯派干了一件显然与传统决裂的事，他们最早相信地球是个球。又因为他们相信10是理想的数，所以他们肯定移动的天体必定有10个。第一个是中心火球，所有天体包括地球都绕它转动。加上地球、5个行星、日、月以及恒星所附着的天球，总共只有9个运动的天体。因此他们提出存在第10个天体，叫反地球（counter-earth），也是绕中心火球转的。这个反地球我们看不见，因为它在中心火球的另一侧以恰好相同于地球的速度运动，又因为住人的那部分地球是背朝中心火球的。这是第一个地动学说。 还有一种信念，认为天体是永恒的、神圣的、完美并且不变的，而尘世物体，即地球和彗星则要变化、分解、腐朽和死灭。这据说也是从毕达哥拉斯派来的。匀速圆周运动的信念以及天体和尘世物体之分已深入希腊人的思想。 自然界的形形色色特性也可归结为数。1、2、3、4这四个数叫四象（tetractys），是特别受重视的，因它们相加成10。据说毕达哥拉斯派的誓言是：“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓。长流不息的自然的根源包含于其中。”毕达哥拉斯派认为自然是由四元性组成的，例如点、线、面、体，以及土、气、水、火四种元素。四种元素也在柏拉图的自然哲学中占中心地位。因为10是理想的，故10代表宇宙。10的理想性就需要使整个宇宙能用10种对立的范畴来描述：奇与偶，有界与无界，善与恶，右与左，一与多，雌与雄，直与曲，正方与长方，亮与暗，静与动。 毕达哥拉斯哲学显然把严谨的思想同虚构、无用和不科学的信条混在一起。但他们确实强调要了解自然，并且不是通过单一物质而是通过数的关系这种形式结构来了解的。此外，他们和爱奥尼亚学派都认识到在单纯感觉材料下面必然潜藏着自然的和谐关系。 现在我们可以认识到何以不可公度比的发现对毕达哥拉斯派哲学是那么可悲的打击：不可公度长之比竟然不能用整数之比来表示！此外，他们相信一直线是由有限个点（他们把它和物理质点视为等同）组成的，但对根号2那样的长就不可能是如此。如果他们把无理数当作数来接受，他们那个视整数为至上的哲学就要垮台。 由于毕达哥拉斯派把天文和音乐“归结”为数，这两门学科就同算术和几何发生了联系，这四门学科都被人看成是数学学科。甚至一直到中世纪，这仍包括在学校课程中，当时号称“四大科”。 毕达哥拉斯学派注重算术（数论）并不在于该学科的纯美学价值，而是为了要用数来探究自然现象的意义。其次，正是这种以数为中心的自然哲学，才使尼科梅切斯那样的人重视数。事实上，现代科学也遵循毕达哥拉斯学派重视数的传统——不过形式远为深奥，而纯为追求美的现代数论则直接从毕达哥拉斯学派的算术脱胎而来。 2.柏拉图的观念 生长在毕达哥拉斯与柏拉图之间那些年代里的哲学家同样关心现实的本质，但没有直接把数学加进去。像巴门尼德、芝诺、恩培多克勒、留基伯（Leucippus，约公元前440年）和德谟克利特（公元前约460—约前370）这些人的论点和观点，也像他们的爱奥尼亚前辈一样，是不涉及数量问题的。但他们都肯定自然界是可以理解的，现实世界可以用思想来掌握。他们每个人都是那引向以数学研究自然这根链条上的一个环节。 柏拉图是仅次于毕达哥拉斯本人的最杰出的毕达哥拉斯派，他是传播这种主张的最有影响的一个人，即认为只有通过数学才能领悟物理世界的实质和精髓。感官所认识的世界是混乱和迷离的，在任何情况下都是不完美不持久的。物理方面的知识不重要，因为物质对象要变要腐朽，所以直接研究自然以及纯粹物理上的考察都是没有价值的。物理世界只不过是数学家和哲学家所研究的那个理想世界的不完美的拷贝。那永恒不变的数学定律才是现实世界的真髓。 柏拉图比毕达哥拉斯派走得更远，他不仅想通过数学来了解自然，而且要用数学来取代自然界本身。他相信只要对物理世界做些洞察一切的鸟瞰而从中抽出基本真理，然后就可以单凭理性继续对此进行考察。从那偶就不存在自然界而只有数学，它可以取代物理研究。 柏拉图认为天文学所要关心的不是可见天体的运动，仅仅对运动做些观察和解释远非真正的天文学。要知道真正的天文学，必须先“把天放在一边”，因为真正的天文学是研究数学天空里真星的运动规律的，而可见的天不过是那数学天空的不完美的表现形式。柏拉图是不管天文学在航海、历法和测时这些方面的应用的。 柏拉图认为存在一个由形式和观念组成的、客观而普遍可靠的实在世界，其中事物独立于人而存在且永恒不变、无古无今。我们是通过前世回忆而体会到这些概念的。在柏拉图的哲学里，数学观念起两重作用：不仅是实在世界本身的一部分，而且帮助训练心灵去认识永恒的观念。“几何会把灵魂引向真理，产生哲学精神......” 3.亚里士多德的观念 亚里士多德与他老师柏拉图的观点很不一样，他批评柏拉图追求彼岸世界的态度，批评柏拉图把科学归结为数学的想法。他相信物质的东西是实在的主体和源泉。物理乃至一般的科学必须研究具体的世界以获得真理。真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象获得的，然后才能应用理性给予加工。物质本身是不确定的，它只具有成为形式的潜在可能，当物质被组织成各种各样的形式时才变得有意义。形式以及引起新形式的物质内部的变化才是实在世界的有意义之处和科学应真正关心的。 亚里士多德认为物质是由四种基本元素——土、水、火、气组成的。每种元素又有其自身的特征性质。土是冷而干的；水是冷而湿的；气是热而湿的；火是热而干的。土和水有重性，气和火有浮性。任一物件的性质取决于所含元素的比例，包括固体性、硬度、粗糙性以及其他品质，也因此决定了它的运动情况。固体、液体、气体是三类不同的物体，以其具有不同物性上的品质而互相区别。 亚里士多德认为变化的原因有四类。第一类是物质的或内在的原因。第二类是形式原因。第三类是作用原因，是起作用的东西或人。第四类是终因，或现象所服务的目的。终因是四类原因中最重要的，因为它给出事件或现象的终极理由。每件东西都有一终因。 亚里士多德认为物理是研究自然的基本科学，数学通过描述形式上的性质来帮助研究，它给物质现象上观察到的事实提供解释。数学肯定是从现实世界抽象出来的，因为数学对象不能独立于或先于经验而存在。它们是作为能够被感觉到的对象本身与对象的本质之间的一类观念而存在于人的心目中的。因它们是从物理世界抽象而来的，所以它们能应用于物理世界。但若脱离可见的或可感触的事物，它们便没有实在性。单靠数学是绝不能充分确定物质的。质的差异不能归结为几何差异。在研究原因时，数学至多只能提供形式原因方面的一些知识，就是说只能提供一种描述。它能描述物理世界中所发生的事，能把同时发生的变异联系起来，但对运动或变化的作用原因和终因却不能置一辞。所以亚里士多德是把数学和物理严格区别开的，并给予数学以次要的地位。 综上所述，希腊哲学家对于自然界的研究强调要理解和领悟其内在实质。从毕达哥拉斯时代起，几乎所有学者都说自然界是依数学方式设计安排的，这种信念是在古典时期形成的，并在那时开始探索数学规律。这种信念直到19世纪末一直占优势，在那个时期探索自然界的数学设计方案被人认为就是探索真理，吸引了一些最深刻最崇高的思想家去研究数学。 4.希腊的心智观 希腊哲学家相信心智是掌握自然的最有力的因素，他们把心智所欣赏的原理作为第一原理。圆周运动为运动的基本类型这种信念就是从其形式的优美为心智所欣赏而来的，圆是完整的而，直线形是由许多线段所围成的，所以是不完整的，因而是次要的。天体只应作匀速圆周运动，因为比非匀速运动更简单，更迎合心智。至于世俗物体之所以异于行星、太阳和恒星是因为天体外貌保持不变而地上事物变化明显。 亚里士多德虽只强调那种有助于理解现实世界的抽象，但他也说应该从心智所明了的原理出发，然后去分析自然界里发现的事物。他说我们应该从普遍到特殊，从人类到个别的人。所以即使是从具体对象作出的抽象，事先也需要有源于心智的一些总原理。 心智能产生第一性原理的这种信念直到17世纪才被推翻。 下一讲希腊自然科学中的数学。 |
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