数学史(26)：文艺复兴时期（下）

对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。——开普勒（Johannes Kepler）

二、文艺复兴时期的数学

虽然文艺复兴时期人们只是模糊地理解了希腊人工作的远景、价值和目标，但是他们确曾在数学上迈出了有创造性的几步，并且他们在另一些领域里取得了进展，为我们这个学科在17世纪所达到的惊人的高潮铺平了道路。

1.透视法

艺术家们最先表示出对自然界恢复了兴趣，最先认真地运用希腊的学说：“数学是自然界真实的本质。”也许他们对希腊的思想和智慧是感觉了，但很难说是理解了。在某种程度上这反而是有利的，因为他们未受正规学校教育，就可以不受那些教条的约束。另外，他们享有表达思想的自由，因为他们的工作被认为是“无害的”。

文艺复兴时期的艺术家们受雇于王公贵族去执行各种任务，从创作图画到设计防御工事、运河、桥梁、军事器械、宫殿、公共建筑和教堂。所以他们必须学习数学、物理、建筑学、工程学、石工、金工、解剖学、木工、光学、静力学和水力学。他们进行了手工操作，但也解决了最抽象的问题。在15世纪他们是最好的数学物理学家。

要评价他们对几何学的贡献，就必须注意到他们在绘画方面的新目标。在中世纪颂扬上帝和为圣经插图是绘画的目的。对图形的要求是象征性超过现实性。到文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的目标。于是面临一个数学问题，就是把三维的现实世界绘制到二维的画布上。

布鲁内列斯基（Filippo Brunelleschi，1377—1446）是第一个认真地研究并使用数学的艺术家，对数学的兴趣引导他去研究透视法，他从事绘画正是为了运用几何。他读了欧几里得、希帕恰斯和维泰洛在数学和光学方面的作品，并且向佛罗伦萨的数学家托斯卡内利（Paolo del Pozzo Toscanelli，1397—1482）学习。画家乌切洛（Paolo Uccello，1397—1475）和马萨丘（Masaccio，1401—1428）也探索了实际透视法的数学原理。

数学透视法方面的天才是阿尔贝蒂（Leone Battista Alberti，1404—1472）。他的《论绘画》（Della pittura，1435）一书1511年出版，其中都是数学，也包含了一些光学方面的工作。他的另一本重要的数学著作是《数学游戏》（Ludi mathematici，1450），这本书里有机械、测量、计时和炮术方面的应用。阿尔贝蒂所设想的原理成了他艺术上的继承人所采用并加以完善的透视法数学体系的基础。

在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼睛或观测点出发射到景物本身的每一个点上。他把这些光线叫做光束棱锥或投影线。设想在这些线穿过玻璃屏板（画面）之处都标出一些点子，他把这点集叫做截景。截景给眼睛的印象和景物本身一样，因为从两者发出的光线一样。所以作画逼真的问题就是在画布上作出一个真正的截景。当然这个截景依赖于眼睛的位置和屏板的位置。这意思就是对同一景物可以绘出不同的画。

艾伯蒂在《论绘画》中提供了一些正确的法则，但是没有给出全部细节。他提出了一个很重要的问题：如果在眼睛和景物之间插进两块玻璃屏板，则在它们上面的截景将是不同的。进一步，如果眼睛从两个不同的位置看同一景物，而在每一种情形下都插一块玻璃屏板在中间，那么截景也将是不同的。可是所有这些截景都传达原来的形象，所以它们必定有某种共性。那么任意两个截景之间有什么数学关系，或它们有什么共同的数学性质？这问题是射影几何发展的出发点。

达芬奇认为一幅画必须是实体的精确再现，透视法就是“绘画的舵轮和准绳”，涉及应用光学和几何学。对他来说，绘画是一种科学，因为它揭示了自然界的真实性；由此，绘画比诗歌、音乐和建筑更为优越。达芬奇关于透视法的著作包含在《绘画专论》（Trattato della pittura，1651）中，这书由某个不知名的作者编辑，采用了达芬奇有关笔记中最有价值的材料。

把透视法的数学原理以相当完整的形式陈述出来的画家是弗兰西斯卡（Piero della Francesca，约1410—1492），他还认为透视法是绘画的科学并且企图通过数学来修改和推广根据经验得到的知识。他的主要著作《透视画法论》（De prospettiva pingendi，1482—1487）推进了阿尔贝蒂的投影线和截景的思想。就像阿尔贝蒂一样，他给出了直观易懂的定义来帮助艺术家们。然后他提出定理，并且通过作图或做一个比例的计算来“论证”这些定理。他是杰出的画家兼数学家，也是科学的艺术家，还是那个时代最好的几何学家。

文艺复兴时期全体艺术家中最好的数学家要算是德国人丢勒（Albrecht Dürer，1471—1528）。他的《圆规直尺测量法》（Underweysung der Messug mid dem Zyrkel und Rychtscheyd，1525）主要是几何方面的书。他的书谈论实际比理论多，很有影响。

从16世纪起透视法的理论就在绘画学校里按照大师们写下的原理讲授。不过，他们在透视法方面的论文总的来说只是些格言、法则和硬性规定的方法，缺乏一个坚实的数学基础。1500年到1600年这段时期的艺术家和后来的数学家把这门学科放在一个令人满意的演绎基础上，使它从半经验的艺术成为真正的科学。透视法方面的权威性著作是很久之后才由18世纪的数学家泰勒（Brook Taylor）和兰伯特（Johann Heinrich Lambert）写出来的。

2、几何本身

15、16世纪除透视法外，几何学的发展没有给人深刻的印象。丢勒、达芬奇和帕乔利（Luca Pacioli，约1445—1514）（他是一个意大利的修士，弗兰西斯卡的学生，达芬奇的朋友和教师）讨论的一个几何题目是作圆的内接正多边形。这些人试图按阿拉伯人阿布尔韦法曾考虑过的限制用直尺和开口固定的圆规来完成作图，但他们只给出了近似的方法。

贝内代蒂扩大了问题，寻找用直尺和开口固定的圆规来解欧几里得的所有作图问题。一般的问题是由丹麦人莫尔（George Mohr，1640—1697）在《奇妙的欧氏纲要》（Compendium Euclidis Curiosi，1673）一书中解决的。莫尔在他的丹麦文《欧几里得》（Euclides Danicus，1672）一书中还指出，凡能用直尺和圆规作的图也可以只用一个圆规来完成。马斯凯罗尼（Lorenzo Mascheroni，1750—1800）重新发现只用一个圆规就足以完成欧几里得作图这一事实，并且发表在他的《圆周几何》（La geometria del compass，1797）一书中。

乔治·莫尔

求物体的重心是另一个感兴趣的问题。达芬奇对等腰梯形的重心给出了一个正确的方法和一个不正确的方法。然后他不加证明地给出了四面体重心的位置，在底面三角形的重心到顶点的连线上四分之一的地方。

两个新颖的几何思想出现在丢勒的一些次要的著作里。第一个是空间曲线。空间螺旋线在平面上的投影是各种各样的平面螺旋线，丢勒指出如何去画它们。他还介绍了外摆线，这是一个动圆在一个定圆外滚动时动圆上一点的轨迹。第二个思想是考虑曲线和人影在两个或三个相互垂直的平面上的正交投影。这个想法丢勒只是接触了一下，后来到18世纪时由蒙日（Gapard Monge）发展为画法几何。

达芬奇、弗兰西斯卡、帕乔利和丢勒在纯粹几何学方面的工作，从其有无新结果的观点来看是不重要的，主要价值是广泛地传播了某些几何知识。丢勒的《圆规直尺测量法》的第四部分与弗兰西斯卡的《论规则形体》（De Corporibus Regularibus，1487）和帕乔利的《神妙的比例》（De Divina Proportione，1509）一起，重新引起人们对立体几何的兴趣。立体几何学在开普勒时代繁荣起来。

另一个几何的活动是制作地图。地形勘察揭露出现有地图的不妥当，同时揭开了新的地理知识。地图的制作和印刷开始于15世纪后半叶，以安特卫普和阿姆斯特丹为中心。

制作地图的问题是从下述事实提出来的：一个球不能裂开展平而不畸变。还有，方向（角）或面积或两者都会发生畸变。制作地图的最有意义的新方法是克雷默（Gerhard Kremer）提出的，他也叫墨卡托（Mercator，1512—1594），他把终身贡献给这门科学。1569年他作出一幅地图，用了著名的墨卡托投影。纬线和经线是直线。经线是等距离的，但纬线的间隔是递增的。当纬度L递增时，他令纬线间的距离按倍数1 /cos L递增。

墨卡托（现代地图之父）

只在这种投影下地图上相互两点的罗盘方位才是正确的。于是球面上罗盘方位是常数的线（即所谓斜驶线，它与子午线有相同的交角）成为地图上的一条直线。距离和面积不保持；但是，因为方向是保持的，所以在一点处的两个方向之间的夹角是保持的，从而这个地图被称为是保形的。

墨卡托地图

虽然16世纪制作地图的工作中没有出现很多新的数学思想，但是后来这个问题被数学家们接了过去，并引导出微分几何中的工作。

3、代数

直到卡尔达诺的《大衍术》（Ars Magna，1545，后文又译为《重要的艺术》）出版，文艺复兴时期代数一直没有什么发展。但是，帕乔利的工作是值得注意的。他认为数学是最广的有系统的学问，并且应用于所有人的实际生活和精神生活中。他告诉数学家和技术人员，理论必须是主导。他的主要出版物是《总论算术、几何、比例和比例性》（Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita，1494），一本当代数学的概要，并且是这个时代的代表，因为它把数学和很多实际应用联系起来。

这本书的内容包含了印度—阿拉伯的数学符号、商业算术，包括簿记和当时的代数，欧几里得《原本》的一个蹩脚的概括，还有一些从托勒玫那里抄来的三角学。应用比例概念去揭示自然界的各个方面和宇宙本身是一个大的课题。他把比例叫做“皇后”，并且把它应用于人体各部分的尺寸，应用于透视甚至是混合颜料。他所写的方程中，系数总是常数，并把各项放在使系数为正的一边。虽然偶尔要减去一项，但纯负数是不用的，方程也只给正根。他用代数去计算几何量。他认为解方程x3 +mx = n和x3 +n = mx就像化圆为方的作图题一样是不可能的，用这条意见结束了他的书。

帕乔利

虽然在《总论》里没有什么是独创的，但这书和他的《神妙的比例》都是有价值的，因为包含的内容比在大学里教的多很多。帕乔利是已有学术著作同艺术家与技术人员所获得知识之间的媒介。《总论》对1200年到1500年之间算术和代数的发展只是一个很有意义的数学注解，因为它出版在1494年，但并不比斐波那契1202年的《算经》内容更多。事实上，《总论》中的算术和代数是根据斐波那契的书而写的。

4、三角

1450年以前三角主要是球面三角；测量学还继续用罗马的几何方法。虽然斐波那契在他的《几何实习》（Practica Geometriae，1220）里就曾经倡导平面三角的方法，差不多到1450年左右平面三角学在测量中才变得重要起来。

15世纪末叶和16世纪早期由德国人完成了三角学中的新方法，通常他们在意大利留学然后回到祖国。当德国开始兴旺时，北德汉萨同盟（Hanseatic League of North Germany）控制着很多贸易，得到很多财富，于是商人中的赞助者就可以支持我们将要提到的很多人的工作。三角学的工作受到航行、推算日历和天文学的推动，对天文学的兴趣由于日心说的创造而增强。

维也纳的波伊尔巴赫（George Peurbach，1423—1461）开始去校订《至大论》的拉丁文译本，这本书是由阿拉伯版本转译的，他打算由希腊原文翻译。他还开始制作更精确的三角函数表。但波伊尔巴赫死时太年轻，他的工作由他的学生米勒（Johannes Müller，1436—1476）[又叫雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）]继续下去。雷格蒙塔努斯翻译了阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》、阿基米德和赫伦的部分作品，自己成立印刷厂出版这些书。

雷格蒙塔努斯的纪念邮票

他仿造波伊尔巴赫采用印度人的正弦，然后造了一个取圆半径为600,000单位和另一个取半径为10,000,000单位的正弦表。他还计算了正切表。在《方位表》（Tubulae Directionum，写于1464—1467）一书中他给出了五位正切表并取十等分角度，这在那个时代是一个很不平常的做法。

15、16世纪有很多人在做表，其中有雷蒂库斯（George Joachim Rhaeticus，1514—1576）、哥白尼、韦达（1540—1603）和皮蒂斯科斯（Bartholomäus Pitiscus，1561—1613）。这一工作的特点是让圆半径的值很大很大以便能够得到更精确的三角函数值而不用分数或小数。例如，雷蒂库斯计算一个正弦表，半径取得是10的10次方和10的15次方。皮蒂斯科斯在《宝库》（Thesaurus，1613）中修正并发表了雷蒂库斯的第二个三角函数表。“trigonometry”一词就是他提出的。

更基本的工作是解平面和球面三角形。雷格蒙塔努斯从纳西尔丁的工作中得到益处，并且在1462年写的《论三角》（De Triangulis）中用更为有效的方式把平面三角、球面几何和球面三角中有用的知识放在一起。他给出球面三角的正弦定律，就是

sin a/sin A=sin b/sin B=sin c /sin C，

和涉及边的余弦定律，即

cos a=cos bcos c+sin bsin c cos A。

《论三角》直到1533年才出版。与此同时沃纳（Johann Werner，1468—1528）在《论球面三角》（De Triangulis Sphaericis，1514）一书中改进并发表了雷格蒙塔努斯的思想。

经过雷格蒙塔努斯多年的工作，球面三角仍然因为需要大批公式而处于困难中，这部分是因为他在《论三角》中（甚至哥白尼在一个世纪之后）只用到正弦和余弦函数，还因为钝角的余弦和正切函数的负值没有被承认为数。

雷蒂库斯是哥白尼的学生，他改变了正弦的意义。原来说一段弧的正弦，他改成说一个角的正弦。雷蒂库斯采用了全部六个函数。

韦达（近代代数之父）

韦达的职业是律师，但他更被认为是16世纪第一流的数学家。他的《标准数学》（Canon Mathematicus，1579）一书是他在三角的许多工作中的第一本、在这里他把解直角和斜角平面三角形的公式收集到一起，也包括他自己的贡献正切定律：

(a - b) / (a + b) = tan [(A - B) /2] / tan [(A + B) /2]。

对球面直角三角形，他给出了用已知的两部分计算另一部分所需的一套完全的公式，并给出了用来记住这套公式的法则，我们现在把它叫做纳皮尔法则。他还提出了涉及钝角球面三角形角的余弦定律：

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos a。

很多三角恒等式是托勒密建立的，韦达给以补充。例如，他给出了恒等式：

sin A - sin B = 2 cos [(A + B) /2] cos [(A - B) /2]。

还有用sin θ和cos θ表示sin nθ和cos nθ的恒等式。后一个恒等式写在他的《斜截面》（Sections Angulares）一书中，这本书于他死后在1615年出版。

他用sin nθ的公式去解比利时数学家罗马努斯（Adrianus Romanus，1561—1615）在《数学思想》（Ideae Mathematicae，1593）中作为对法国人的挑战而提出的一个问题。这个问题是求解一个45次方程。法国的亨利（Henry）四世找来了韦达，他认为这个问题等价于用sin A表示sin 45A，并求出sin A。韦达知道这个问题可解，只要把这个方程分成一个5次的方程和两个3次的方程，而这些方程他很快地解出。他给出了23个正根，但忽略了负根。在他的《回答》（Responsum，1595）一书中他解释了他的解法。

16世纪三角学开始从天文学里分出来成为一个数学分支，它的应用说明有必要用更独立的观点来研究三角学。

5、文艺复兴时期主要的科学进展

在文艺复兴时期，对推动以后两个世纪的数学具有决定意义的进展是哥白尼和开普勒领导的天文学革命。大约在1200年以后，亚里士多德的天文理论（欧多克索斯的一个修补）和托勒密的理论变得广泛流行并且互相对立。亚里士多德的理论为大多数人接受，虽然托勒玫的理论对天文预测、航行和计算日历更为有用。

一些阿拉伯人。中世纪后叶的人，文艺复兴时代的人物，包括阿尔比鲁尼（973—1048）、奥雷姆和库萨（Cusa）的尼古拉（Nicholas，1401—1464）大主教，也许是响应希腊人的思想，当真考虑过地球或许在转动，并且考虑过在地球绕太阳转动的基础上，同样可能建立一种天文学理论，但是没有一个人提出新的理论。

在天文学家之中哥白尼作为一个巨人突然出现。哥白尼1473年生于波兰的托伦（Thorn），在克拉科夫（Cracow）大学学习数学和科学。23岁时他到博洛尼亚进一步深造。1512年他回到波兰成为弗劳恩堡（Frauenberg）大教堂的典事，在那里一直住到1543年逝世。他在完成工作职务的同时，专心致志于研究和观测，终于创立了革新的天文学理论。思维领域的这一成就，就其重要性、勇敢和宏伟的程度来说，远远超过了征服海洋的壮举。

华沙国家科学院门口的哥白尼雕像

很难断定什么原因使哥白尼抛弃了有1400年之久的托勒密理论。在《天体运行论》（De Revolutionibus Orbium Coelestium，1543）的序言中所述的是不完全的，并且有几分不可思议。哥白尼声明唤醒他的是关于托勒密体系的精确度的各种不同观点，认为托勒密的理论只是一个假说的观点，以及亚里士多德和托勒密理论的追随者之间的争执。

哥白尼保留了托勒密天文学的一些原理。他用圆作基本曲线，在此基础上构造对天体运动的解释。他也采纳了在均轮上作周转运动的方案，但反对托勒密在假想圆上的匀速运动，因为这个运动不要求均匀直线速度。

由于用了阿利斯塔克把太阳放在每个均轮中心的思想，哥白尼能够用比较简单的图来代替以前描绘每一个天体运动所需要的复杂的图。他用34个圆代替77个圆去解释月球和六个已知行星的运动。后来他改善了这个方案，让太阳只是靠近这个体系的中心而不是正在这中心。

巴西发行的哥白尼纪念邮票

从与观测结果相符合这点来说，哥白尼的理论并不比托勒密的修正理论更好。哥白尼体系的优点乃是它用地球围绕太阳运动来解释行星运动的主要不规则性，而不是用许多周转圆。此外，他的方案用同样通用的方法对待所有的行星，而托勒密对内部行星水星、金星和外部行星火星、土星、金星采用稍有不同的方法。最后，在哥白尼的方案中天体位置的计算是比较简单的，以至于在1542年天文学家们开始用他的理论来计算天体位置的新的表。

哥白尼的理论遇到了合理的和怀偏见的两种反对意见。同观测的不符合使得第谷·布拉赫（1546—1601）放弃了这个理论而去寻找一个折衷的方案。韦达由于同样的原因完全拒绝了它，转而去改进托勒密的理论。很多知识分子拒绝这个理论或是因为不了解，或是因为不能接受新思想。他书中所含的数学确实难懂，就像哥白尼在序言里所说的，他的书是写给数学家看的。第谷·布拉赫和德国天文学家在1572年对于新星的观测是有帮助的，星球的突然出现和不见反驳了亚里士多德和经院派学者关于天体永恒不变的教条。

第谷布拉赫

如果没有开普勒（1571—1630）的工作，日心说的命运将是不确定的。他出生于符腾堡（Württemberg）公国的一个城市魏尔（Weil）。他曾在第谷·布拉赫的观象台里做他的助手，并在第谷死后被任命接替其位置。开普勒的一部分工作是为他的雇主鲁道夫（Rudolph II）大帝算命。开普勒用占星术有助于天文学家谋生的想法来聊以自慰。

开普勒的一生受尽磨难，但他用恒心、非凡的努力和丰富的想象力从事科学工作。在探讨科学问题的态度方面，开普勒是一个过渡人物。他接受了柏拉图的教义——宇宙是按照一个事先建立好的数学方案安排的。但他极其尊重事实，工作完全建立在事实的基础上，从事实发展到定律。在寻找定律时，他发挥了对假说的创造性，对真理的热爱和活跃的想象力但不妨碍理智。他设计了很多的假说，但当它们与事实不符时，他毫不犹豫地抛弃。

开普勒

被哥白尼体系的美好与和谐所触动，他决定从事于去寻求第谷·布拉赫所提供的更为精确的观测可能允许怎样的几何上的和谐关系。他寻找数学上的关系，确信这种关系是存在的，这使得他在错误的道路上探索了许多年。在《神秘的宇宙结构学》（Mysterium Cosmographicum，1596）一书的序言中，他说道：“我企图去证明上帝在创造宇宙并且调节宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时代起就为人们熟知的五种正多面体，他按照这些形体安排了天体的数目，它们的比例和它们运动间的关系。”

于是他假定六个行星的轨道半径是一些和五种正多面体相联系的球的半径。最大的半径是土星的轨道半径，在这一半径的球里他假设有一个内接正立方体。在这个立方体里有一个内接球，这球的半径就是木星的轨道半径。在这个球里有一个内接正四面体，对它又有一个内接球，它的半径是火星轨道半径。如此继续下去，经过五种正多面体，可以作出六个球，正好和当时知道的行星数目一样。由这个假设作出的推论和观测不一致，他抛弃了这个想法，但在这以前他异常努力地以改进了的形式去运用它。

开普勒行星运动三定律的前两条公布在1609年出版的一本书里，这本书有个很长的名字，有时简称它为《新天文学》（Astronomia Nova），有时叫《论火星的运动》（Commentarieson the Motions of Mars）。

第一定律说每个行星的轨道不是一些动圆联合的结果，而是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上。第二定律说太阳与行星的连线在相等的时间里扫过相等的面积。希腊人相信行星运动必须用均匀线速率来解释。开普勒和哥白尼一样，一开始也坚定地相信匀速率的学说，但是他的观测迫使他又放弃了这个珍爱的信念。当他能够用具有同样魅力的某些东西代替这信念时，他是非常高兴的，因为他的关于自然界遵循数学规律的信念又得到了肯定。

开普勒作出了更为异常的努力来得到第三个定律。取地球公转的周期和它到太阳的平均距离（应为半主轴）作为时间和距离的单位，那么一个行星公转的周期的平方等于它到太阳的平均距离的立方。开普勒在《世界的和谐》（The Harmony of the World，1619）一书中公布了这个结果。

开普勒三大定律

开普勒的工作比哥白尼的工作要革命得多，他采用椭圆和非匀速运动从根本上打破了权威和传统。他坚持这样的立场：科学研究是独立于一切哲学和神学信条的；单单数学上的考虑就可以决定假说的正确性；假说以及从它作出的推理都必须通过实践来检验。

对日心说有些很有分量的科学上的反对意见，其中许多是托勒密针对阿利斯塔克提出来的。怎样能使地球这样一个重的天体开始运动并且保持运动？（希腊人和中世纪的思想家认为行星是由某种特别轻的物质组成的。）为什么扔到空气中的物体不落到它原来位置的西边？为什么地球在旋转时不飞散？哥白尼对后一个问题的极为软弱的回答是球是一个自然的形状，因此就自然地运动着，所以地球不会破坏它自己。为什么地球上的物体和空气本身和地球在一起？哥白尼回答说，空气具有“地球性”，所以跟着地球转。

为什么恒星的方向不变？视差若是2'，则距离至少需要400万倍于地球半径，这样一个距离在当时是不可想象的。哥白尼声明“天空与地球相比是无限的，好像是无穷大的……宇宙的边界是不知道的也是不可知的”。直至1838年数学家贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）才测量了最近一个恒星的视差，发现它是0.31ʺ。

德国数学家、天文学家贝塞尔

如果哥白尼和开普勒是“清醒的”人，他们就永远不会去否定他们的感觉。尽管地球在高速率地转动，但我们不能感觉到它的自转和公转。另一方面，我们确实看到太阳在运动。

哥白尼和开普勒都否认基督教的一条中心教义，就是上帝主要关心的是人，而人是宇宙的中心，宇宙万物都围绕着人转。相反，日心说把太阳放在宇宙的中心，这就威胁了这个慰藉人心的教义，因为它使得人成为可能有的一大群漂泊于寒冷天空的流浪者之一。这样，通过太阳代替地球，哥白尼和开普勒就搬走了天主教神学的基石，并且危及其结构。哥白尼指出宇宙比起地球来是如此巨大，以至于去谈论中心是毫无意义的。这种议论就更加使他与宗教对立起来了。

反驳所有这些反对意见，哥白尼和开普勒都只用了一个回答，但却是有分量的回答。如果承认数学关系是科学工作应有的目标，那么能够给出更好的数学处理这一事实就足以压倒一切反对意见。他们都感到并且清楚地说明了他们的工作给出了协调、对称和神圣作坊的设计，以及上帝存在的有力证据。哥白尼说：“我们发现，在这有次序的安排下，宇宙有一种奇异的对称性，天体运动和大小的协调有确定的关系，而这是不可能从其他途径去获得的。”开普勒1619年的书名是《世界的和谐》，他对上帝的无尽的颂扬，对上帝数学设计的宏伟所表现的钦佩证明了他的信仰。

开普勒著作《世界的和谐》

一开始只有数学家支持日心说是不奇怪的。只有数学家，而且只有相信宇宙是按照数学方式设计的数学家，才会有足够坚强的信心摆脱那些流行的哲学上、宗教上和物理上的信念。直到伽利略把望远镜对准天空，天文学的物证才支持了数学的理论。17世纪初伽利略看到在木星周围有四个卫星，证明行星可以有卫星。由此得出，地球不能因为有月球就不是行星。伽利略还看到月球有一个粗糙的表面，像地球一样有高山和深谷。所以地球也就是一个天体，未必是宇宙的中心。

最后日心说得到了承认，因为它计算简单，因为它的优越的数学，还因为观测结果支持着它。这表明运动科学应该在地球自转又公转的见解下改写。简单说来，需要一个新的力学。

17世纪天文学家对光学更有兴趣了，因为空气对光线产生折射效应，这就给星球的位置以一种假象。16世纪末，发明了望远镜和显微镜，它们打开了新的世界。在17世纪，几乎所有的数学家都研究过光学和透镜。

6、文艺复兴时期评注

文艺复兴时期在数学方面没有出现任何杰出的新成就。文学、绘画、建筑领域中创造出很多杰作，它们至今仍是我们文明的一部分。在科学方面，日心说使最好的希腊天文学说黯然失色，使阿拉伯或中世纪的贡献相形见绌。对于数学来说，这一时期主要是一个吸收希腊成果的时期，与其说是古代文化的新生，倒不如说是它的再现。

对于数学的茁壮成长同样重要的是，它又像亚历山大时代那样建立起和科学、技术的密切联系。在科学方面，认识到数学定律归根到底是终极的目标；在技术方面，认识到以数学式子来表达研究结果是知识最完善、最有用的形式，是设计和施工最有把握的向导。这样的估价保证了数学成为现代的一个主要力量，还保证了数学的新发展。

下一讲16、17世纪的算术和代数。