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用二次函数解决问题 【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识． 2.深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 【知识点梳理】 1、二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是， 学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式． 对于应用题要注意以下步骤： ① 审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么， 找出等量关系 ( 即函数关系 )． ② 设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． ③ 列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． ④ 按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题 . ⑤ 检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． ⑥ 写出答案． 注： 常见的问题：求最大 ( 小 ) 值 ( 如求最大利润、最大面积、最小周长等 )、涵洞、桥梁、抛物体、 抛物线的模型问题等. 解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式 . 2、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： ① 恰当地建立直角坐标系； ② 将已知条件转化为点的坐标； ③ 合理地设出所求函数关系式； ④ 代入已知条件或点的坐标，求出关系式； ⑤ 利用关系式求解问题． 注： (1) 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题， 利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式， 再利用函数的图象及性质去研究问题. 在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2) 对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ① 首先必须了解二次函数的基本性质； ② 学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③ 借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题】 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值 【例题1】某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售， 对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查． 调查发现这种水产品的每千克售价 y1 ( 元 ) 与销售月份 x ( 月 ) 满足关系式 y1 = -3/8 x + 36， 而其每千克成本 y2 ( 元 ) 与销售月份 x ( 月 ) 满足的函数关系如图所示．  (1) 试确定 b，c 的值； (2) 求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x的取值范围) (3) “五一” 之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】   【点评】 在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围， 有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意， 有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解． 类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题 【例题2】某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为 4 m，顶部距离地面的高度为 4.4 m， 现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为 2.4 m，该车要想过此门， 装货后的最大高度应是多少 m？  【思路点拨】 因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系， 将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高． 【答案与解析】 解：建立如图平面直角坐标系：  设抛物线的解析式为 y = ax2， 由题意得： 点 A 的坐标为（2，﹣4.4）， ∴﹣4.4 = 4a， 解得：a=﹣1.1， ∴ 抛物线的解析式为 y=﹣1.1x2， 当 x = 1.2 时， y =﹣1.1×1.44=﹣1.584， ∴ 线段 OB 的长为1.584 米， ∴ BC= 4.4﹣1.584 = 2.816 米， ∴ 装货后的最大高度为 2.816 米， 故答案为：2.816 米． 【点评】 利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤： (1) 恰当地建立直角坐标系； (2) 将已知条件转化为点的坐标； (3) 合理地设出所求函数关系式； (4) 代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5) 利用关系式求解问题． 类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 【例题3】如图所示，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐， 已知篮筐中心到地面的距离为 3.05 m，若该运动员身高1.8 m， 在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 m 处出手， 问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?  【答案与解析】 如图所示，在直角坐标系中，点 A(1.5，3.05) 表示篮筐，点 B(0，3.5) 表示球运行的最大高度， 点 C 表示球员篮球出手处，其横坐标为 -2.5，  设 C 点的纵坐标为 n，过点 C、B、A 所在的抛物线的解析式为 y = a（x - h）2 + k， 由于抛物线开口向下，则点 B(0，3.5) 为顶点坐标， ∴ y = ax2 + 3.5． ∵ 抛物线 y = ax2 + 3.5 经过点 A(1.5，3.05)， ∴ 3.05＝a·1.52 + 3.5， ∴ a = -1/5 . ∴ 抛物线解析式为 y = -1/5 x2 + 3.5． ∴ n = -1/5 × （-2.5）2 + 3.5， ∴ n＝2.25． ∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为 2.25 - (1.8+0.25)＝0.20 (米)． 【点评】 首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标， 然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标， 结合已知条件，得到实际问题的解． 类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题 【例题4】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以 AD 为直径的半圆 O， 下部是一个矩形ABCD．  (1) 当 AD＝4 米时，求隧道截面上部半圆 O 的面积； (2) 已知矩形 ABCD 相邻两边之和为 8 米，半圆 O 的半径为 r 米． ① 求隧道截面的面积 S ( m )2 关于半径 r ( m ) 的函数关系式(不要求写出r的取值范围)； ② 若 2 米 ≤ CD ≤ 3 米，利用函数图象求隧道截面的面积 S 的最大值．( π 取 3.14，结果精确到 0.1米) 【思路点拨】 ① 根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式； ② 利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【答案与解析】   【点评】 解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系， 再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积． |
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