非线性

王弈然的图书馆 2020-02-15

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折叠 编辑本段概述

非线性是指变量之间的数学关系，不是直线，而是曲线、曲面、或不确定的属性。

所谓线性，是指变量之间的数学关系，是直线的属性。从数学意义上来讲，是指方程的解满足线性叠加原理。即方程任意两个解的线性叠加，仍然是方程的一个解。线性意味着系统的简单性，但自然现象就其本质来说，都是复杂的，非线性的。所幸的是，自然界中的许多现象都可以在一定程度上近似为线性。传统的物理学和自然科学就能为各种现象建立线性模型，并取得了巨大的成功。但随着人类对自然界中各种复杂现象的深入研究，越来越多的非线性现象开始进入人类的视野。

通过利用微分同胚，李群等工具，研究非线性的状态，输出和输入的相互关系慢慢建立了非线性可控制，可观测的充分条件或必要条件，对全局的状态精确地线性输入、输出，使得非线性系统转化为了较为简单的线性系统，使得非线性的系统模型，可以被大多数的应用科学所采用。如神经科学，量子捕捉系统，桥梁结构的长期性力学检测。这些都可以利用非线性的方法得出较好的结论。

线性与非线性的区别:"线性"与"非线性"，常用于区别函数y =f (x)对自变量x的依赖关系。线性函数即一次函数，其图像为一条直线。其它函数则为非线性函数，其图像是除直线以外的图像。

非线性，它会影响倾角传感器的测量精度，可以通过后续进行校正，取决于校正点的多少。校正点越多，非线性越好。

折叠 编辑本段详细释义

折叠定义

线性关系，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动;而非线性关系则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问:两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍?很容易想到的是两倍，可实际是 6-10倍!这就是非线性:1+1不等于2。对于方程组，线性与非线性的区别在于是否具有常数项，若有常数项则为非线性方程，如:x+y+z=12，就为非线性方程。

折叠共性

非线性关系虽然千变万化，但还是具有某些不同于线性关系的共性。

线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，正是这种相互作用，使得整体不再是简单地全部等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。

激光的生成就是非线性的!当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射;而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象:受激原子好像听到"向右看齐"的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。

迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。

折叠界定

线性:从相互关联的两个角度来界定，其一:叠加原理成立;其二:物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。

在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定:

其-，"定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符"，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对(aφ+bψ)的*作，等于分别对φ和ψ*作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。

其二，作为等价的另-种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性:在用于描述-个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的-个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。

对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其-叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称;反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。