最短路径：有关对称的最值问题

【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

一、12个基本模型

二．“一次对称”常见模型:

三、精品练习

1．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）

2．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC′、AD′分别与 BC、CD交于点 E、F，则△CEF 的周长的最小值为（    ）

3．四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，

使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数（） A．120°B．130°C．110°D．140°

4．如图，在锐角△ABC 中，AB＝4√2，∠BAC＝45°，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________。   

5．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C 重合），且 ED＝AE，则线段 AE 的取值范围是__________。

6．如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是_________．

7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6√3，0)．OC 平分∠AOB,点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最小值__________。

8．已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为__________。此时 C、D 两点的坐标分别为__________。

9．已知 A（1，1）、B（4，2）．

（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；

（2）P 为 x 轴上一动点，求 | PA - PB |的值最大时 P 点的坐标；

（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD＝1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；

10．点 C 为∠AOB 内一点．（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．

 

11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CF＝CD；（2）在△ABC 中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C 均小于 120°，求作一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．

12．荆州护城河在 CC＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD＇、EE＇，护城河及两

桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？

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