凯旋门秘籍第三篇《韦达奥义》

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导入

在我们的初中课本中，都学习过韦达定理，指的是一元二次方程中根与系数的关系，其中包含两根之和、两根之积。除此之外，我们还需要了解：试卷中常考的倒数和、平方和、以及分数和的转化形式：

而这些都不是我们今天要研究的重点

在韦达定理的所有变型当中，有一个极具美感的代数式：两根之差的绝对值，会等于绝对值a分之根号Δ。我们暂且命名她为韦达终极定理，接下来我们一起进行推导：

鉴定血缘

我们现在要使用她去解决二次函数的截距问题，可能有小伙伴有疑问了，一元二次方程的根与系数关系怎么和二次函数产生了关联呢？这是因为方程与函数之间拥有密不可分的血缘关系，如下：

鉴定完了方程与函数的血缘关系之后，接下来我们正式开始解题啦。

实战演练

首先开胃小菜，来一道凯凯原创题：

这一题，在出给很多同学们做的时候，大家的解法有利用求根公式计算两个实数根的，也有利用韦达定理基本公式列方程组计算的：

但是以上都比较麻烦，不符合我们今天”秒解“的主题。

何为秒解？不是指一眼看出答案，而是不管题目简单还是复杂，我们都只利用一个公式进行计算。

解答步骤如下：

巩固训练

接下来，让我们再通过一道练习题，熟悉这个公式。

首先还是给大家罗列一个常规解法：

这个解法用了两步计算，而且每一步的计算量都偏大

再对比一下我们的秒解法呢？

我们完全可以，直接根据截距为4，列出等式：绝对值a分之根号??等于4，只通过一步计算，直接得到答案，大家觉得这个解法，他香不香？

真题演练

接下来，让我们一起使用韦达终极定理去调戏一道江西中考压轴题。

前面两小问是特例，旨在引导我们推导出yn的解析式：

我们直接讲第三问：

首先，先将顶点式化成一般式

第一问，求截距，直接套公式；

第二问，先联立，我们知道：当一条直线上相邻两点间距离相等的时候，这两个点横坐标的差值也会相等（可以利用三角函数或全等来理解）,所以将两点距离问题转化成了截距问题，使用公式，然后使用定点定值思想来判定（不能理解定点定值思想的可以参照这篇文章凯凯独创-'孤苦零丁”法秒懂中考过定点压轴题型），具体步骤如下：

如果我们再来对比一下参考答案的步骤，就能感受的到复杂程度的差距了：

课外数学史

代数学之父：弗朗索瓦·韦达，1540年出生于法国的普瓦图，本人极具传奇色彩。

他学习过法律，当过律师，做过国会议员，还在对西班牙的战争中帮自己的政府破译过敌军密码，韦达还致力于数学研究，他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数，提出了二次、三次和四次方程的解法。