##引子 最近开始拾起来看一些NLP相关的东西,特别是深度学习在NLP上的应用,发现采样方法在很多模型中应用得很多,因为训练的时候如果预测目标是一个词,直接的softmax计算量会根据单词数量的增长而增长。恰好想到最开始深度学习在DBN的时候采样也发挥了关键的作用,而自己对采样相关的方法了解不算太多,所以去学习记录一下,经典的统计的方法确实巧妙,看起来非常有收获。 本篇文章先主要介绍一下经典的采样方法如Inverse Sampling、Rejective Sampling以及Importance Sampling和它在NLP上的应用,后面还会有一篇来尝试介绍MCMC这一组狂炫酷拽的算法。才疏学浅,行文若有误望指正。 Why Sampling采样是生活和机器学习算法中都会经常用到的技术,一般来说采样的目的是评估一个函数在某个分布上的期望值,也就是 E[f(x)],x∼p,p is a distribution.E[f(x)],x \sim{p},p\ is\ a\ distribution.E[f(x)],x∼p,p is a distribution. 比如我们都学过的抛硬币,期望它的结果是符合一个伯努利分布的,定义正面的概率为ppp,反面概率为1−p1-p1−p。最简单地使f(x)=xf(x)=xf(x)=x,在现实中我们就会通过不断地进行抛硬币这个动作,来评估这个概率p。 E[f(x)]≈1m∑mi=1f(xi). xi∼p{E}[f(x)] \approx \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{f(x_i)}.\ \ x_i \sim pE[f(x)]≈m1i=1∑mf(xi). xi∼p 这个方法也叫做蒙特卡洛法(Monte Carlo Method),常用于计算一些非常复杂无法直接求解的函数期望。 对于抛硬币这个例子来说: E[f(x)]=p≈1m∑mi=1xi=cntum{E}[f(x)] = p \approx \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{x_i} = \frac{cnt_u}{m}E[f(x)]=p≈m1i=1∑mxi=mcntu 其期望就是抛到正面的计数cntucnt_ucntu除以总次数mmm。 而我们抛硬币的这个过程其实就是采样,如果要用程序模拟上面这个过程也很简单,因为伯努利分布的样本很容易生成: yi∼Uniform(0,1),so xi=I(y<p)y_i\sim Uniform(0,1),\\so\ x_i = {I}(y<p)yi∼Uniform(0,1),so xi=I(y<p) 而在计算机中的随机函数一般就是生成0到1的均匀分布随机数。 Sampling Method可以看到蒙特卡洛法其实就是按一定的概率分布中获取大量样本,用于计算函数在样本的概率分布上的期望。其中最关键的一个步骤就是如何按照指定的概率分布p进行样本采样,抛硬币这个case里伯努利分布是一个离散的概率分布,它的概率分布一般用概率质量函数(pmf)表示,相对来说比较简单,而对于连续概率分布我们需要考虑它的概率密度函数(pdf):
比如上图示例分别是标准正态分布概率密度函数,它们的面积都是1(这是概率的定义),如果我们可以按照相应概率分布生成很多样本,那这些样本绘制出来的直方图应该跟概率密度函数是一致的。 而在实际的问题中,p的概率密度函数可能会比较复杂,我们由浅入深,看看如何采样方法如何获得服从指定概率分布的样本。 Inverse Sampling对于一些特殊的概率分布函数,比如指数分布: pexp(x)={λexp(−λx)0,x≥0,x<0p_{exp}(x) = \begin{cases}\lambda exp(-\lambda x) &,x\ge0\\0&, x\lt0\end{cases}pexp(x)={λexp(−λx)0,x≥0,x<0 我们可以定义它的概率累积函数(Cumulative distribution function),也就是(ps.这个’F’和前面的’f’函数并没有关系) F(x)=∫x−∞p(x)dxF(x) = \int_{-\infty}^xp(x)dxF(x)=∫−∞xp(x)dx 从图像上看就是概率密度函数小于x部分的面积。这个函数在x≥0x\ge0x≥0的部分是一个单调递增的函数(在定义域上单调非减),定义域和值域是[0,+∞)→[0,1)[0,+\infty) \to [0,1)[0,+∞)→[0,1),画出来大概是这样子的一个函数,在p(x)p(x)p(x)大的地方它增长快(梯度大),反之亦然: 因为它是唯一映射的(在>0的部分,接下来我们只考虑这一部分),所以它的反函数可以表示为F−1(a),a∈[0,1),值域为[0,+∞)F^{-1}(a),a\in [0,1), 值域为[0,+\infty)F−1(a),a∈[0,1),值域为[0,+∞)
因为F单调递增,所以F−1F^{-1}F−1也是单调递增的: x≤ya≤b⇒F(x)≤F(y)⇒F−1(a)≤F−1(b)\begin{aligned}x\le y &\Rightarrow F(x) \le F(y)\\a\le b &\Rightarrow F^{-1}(a) \le F^{-1}(b)\end{aligned}x≤ya≤b⇒F(x)≤F(y)⇒F−1(a)≤F−1(b) 利用反函数的定义,我们有: F−1(a)<x,iff a<F(x)F^{-1}(a)<x,iff\ \ a<F(x)F−1(a)<x,iff a<F(x) 我们定义一下[0,1]均匀分布的CDF,这个很好理解: P⎛⎝⎜a≤x⎞⎠⎟=H⎛⎝⎜x⎞⎠⎟=⎧⎩⎨⎪⎪1x0,x≥1,0≤x≤1,x<0P(a\le x) = H(x) = \begin{cases}1 &,x \ge 1\\x &,0\le x\le1\\0&, x\lt0\end{cases}P(a≤x)=H(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1x0,x≥1,0≤x≤1,x<0 所以 P(F−1(a)≤x)=P(a≤F(x))=H(F(x))因为F(x)的值域[0,1),所以上式P(F−1(a)≤x)=H(F(x))=F(x)P(F^{-1}(a) \le x) = P(a \le F(x)) = H(F(x))\\因为F(x)的值域[0,1),所以上式\\P(F^{-1}(a) \le x) = H(F(x)) = F(x)P(F−1(a)≤x)=P(a≤F(x))=H(F(x))因为F(x)的值域[0,1),所以上式P(F−1(a)≤x)=H(F(x))=F(x) 根据F(x)F(x)F(x)的定义,它是exp分布的概率累积函数,所以上面这个公式的意思是F−1(a)F^{-1}(a)F−1(a)符合exp分布,我们通过F的反函数将一个0到1均匀分布的随机数转换成了符合exp分布的随机数,注意,以上推导对于cdf可逆的分布都是一样的,对于exp来说,它的反函数的形式是: F−1exp(a)=−1λ∗log(1−a)F^{-1}_{exp}(a) = -\frac{1}{\lambda}*log(1-a)Fexp−1(a)=−λ1∗log(1−a) 具体的映射关系可以看下图(a),我们从y轴0-1的均匀分布样本(绿色)映射得到了服从指数分布的样本(红色)。
我们写一点代码来看看效果,最后绘制出来的直方图可以看出来就是exp分布的图,见上图(b),可以看到随着采样数量的变多,概率直方图和真实的CDF就越接近: def sampleExp(Lambda = 2,maxCnt = 50000):
ys = []
standardXaxis = []
standardExp = []
for i in range(maxCnt):
u = np.random.random()
y = -1/Lambda*np.log(1-u) #F-1(X)
ys.append(y)
for i in range(1000):
t = Lambda * np.exp(-Lambda*i/100)
standardXaxis.append(i/100)
standardExp.append(t)
plt.plot(standardXaxis,standardExp,'r')
plt.hist(ys,1000,normed=True)
plt.show()
Rejective Sampling我们在学习随机模拟的时候通常会讲到用采样的方法来计算π\piπ值,也就是在一个1×1的范围内随机采样一个点,如果它到原点的距离小于1,则说明它在1/4圆内,则接受它,最后通过接受的占比来计算1/4圆形的面积,从而根据公式反算出预估的π\piπ值,随着采样点的增多,最后的结果πˆ\hat{\pi}π^会越精准。
上面这个例子里说明一个问题,我们想求一个空间里均匀分布的集合面积,可以尝试在更大范围内按照均匀分布随机采样,如果采样点在集合中,则接受,否则拒绝。最后的接受概率就是集合在‘更大范围’的面积占比。 当我们重新回过头来看想要sample出来的样本服从某一个分布p,其实就是希望样本在其概率密度函数p(x)p(x)p(x)高的地方出现得更多,所以一个直觉的想法,我们从均匀分布随机生成一个样本xix_ixi,按照一个正比于p(xi)p(x_i)p(xi)的概率接受这个样本,也就是说虽然是从均匀分布随机采样,但留下的样本更有可能是p(x)p(x)p(x)高的样本。 这样的思路很自然,但是否是对的呢。其实这就是Rejective Sampling的基本思想,我们先看一个很intuitive的图
假设目标分布的pdf最高点是1.5,有三个点它们的pdf值分别是 p(x1)p(x2)p(x3)=1.5;=0.5;=0.3;\begin{aligned}p(x_1) &= 1.5;\\p(x_2) &= 0.5;\\p(x_3) &= 0.3;\end{aligned}p(x1)p(x2)p(x3)=1.5;=0.5;=0.3; 因为我们从x轴上是按均匀分布随机采样的,所以采样到三个点的概率都一样,也就是 q(x1)=q(x2)=q(x3)q(x_1)=q(x_2)=q(x_3)q(x1)=q(x2)=q(x3) 接下来需要决定每个点的接受概率acc(xi)acc(x_i)acc(xi),它应该正比于p(xi)p(x_i)p(xi),当然因为是概率值也需要小于等于1. 我们可以画一根y=2y=2y=2的直线,因为整个概率密度函数都在这根直线下,我们设定 acc(xi)=p(xi)2;所以acc(x1)=0.75;acc(x2)=0.25;acc(x3)=0.15;acc(x_i) = \frac{p(x_i)}{2};\\所以acc(x_1) = 0.75;acc(x_2) = 0.25;acc(x_3) = 0.15;acc(xi)=2p(xi);所以acc(x1)=0.75;acc(x2)=0.25;acc(x3)=0.15; 我们要做的就是生成一个0-1的随机数xix_ixi,如果它小于接受概率acc(xi)acc(x_i)acc(xi),则留下这个样本。因为acc∝pacc \propto pacc∝p,所以可以看到因为p(x1)p(x_1)p(x1)是p(x2)p(x_2)p(x2)的3倍,所以acc(x1)=3acc(x2)acc(x_1)=3acc(x_2)acc(x1)=3acc(x2)。同样采集100次,最后留下来的样本数期望也是3倍。这根本就是概率分布的定义! 我们将这个过程更加形式化一点,我们我们又需要采样的概率密度函数p(x)p(x)p(x),但实际情况我们很有可能只能计算出p˜(x)\tilde{p}(x)p~(x),有p(x)=p˜(x)Zpp(x) = \frac{\tilde{p}(x)}{Z_p}p(x)=Zpp~(x)。我们需要找一个可以很方便进行采样的分布函数q(x)q(x)q(x)并使 cq(x)≥p˜(x)cq(x) \ge \tilde{p}(x)cq(x)≥p~(x) 其中c是需要选择的一个常数。然后我们从qqq分布中随机采样一个样本xix_ixi,并以 acc(xi)=p˜(xi)cq(xi)acc(x_i) = \frac{\tilde{p}(x_i)}{cq(x_i)}acc(xi)=cq(xi)p~(xi) 的概率决定是否接受这个样本。重复这个过程就是「拒绝采样」算法了。 在上面的例子我们选择的q分布是均匀分布,所以从图像上看其pdf是直线,但实际上cq(x)cq(x)cq(x)和p˜(x)\tilde{p}(x)p~(x)越接近,采样效率越高,因为其接受概率也越高:
Importance Sampling上面描述了两种从另一个分布获取指定分布的采样样本的算法,对于1.在实际工作中,一般来说我们需要sample的分布都及其复杂,不太可能求解出它的反函数,但p(x)p(x)p(x)的值也许还是可以计算的。对于2.找到一个合适的cq(x)cq(x)cq(x)往往很困难,接受概率有可能会很低。 那我们回过头来看我们sample的目的:其实是想求得E[f(x)],x∼p{E}[f(x)],x\sim pE[f(x)],x∼p,也就是 E[f(x)]=∫xf(x)p(x)dx{E}[f(x)] = \int_x f(x)p(x) dxE[f(x)]=∫xf(x)p(x)dx 如果符合p(x)分布的样本不太好生成,我们可以引入另一个分布q(x)q(x)q(x),可以很方便地生成样本。使得 ∫xf(x)p(x)dxwhere g(x)=∫xf(x)p(x)q(x)q(x)dx=∫xg(x)q(x)dx=f(x)p(x)q(x)=f(x)w(x)\begin{aligned}\int_x f(x)p(x) dx &= \int_x f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x) dx\\&= \int_x g(x)q(x) dx\\where\ \ g(x) &= f(x)\frac{p(x)}{q(x)} = f(x)w(x)\end{aligned}∫xf(x)p(x)dxwhere g(x)=∫xf(x)q(x)p(x)q(x)dx=∫xg(x)q(x)dx=f(x)q(x)p(x)=f(x)w(x) 我们将问题转化为了求g(x)g(x)g(x)在q(x)q(x)q(x)分布下的期望!!! 我们称其中的w(x)=p(x)q(x)w(x)=\frac{p(x)}{q(x)}w(x)=q(x)p(x) 叫做Importance Weight. ###Importance Sample 解决的问题 首先当然是我们本来没办法sample from p,这个是我们看到的,IS将之转化为了从q分布进行采样;同时IS有时候还可以改进原来的sample,比如说:
可以看到如果我们直接从p进行采样,而实际上这些样本对应的f(x)f(x)f(x)都很小,采样数量有限的情况下很有可能都无法获得f(x)f(x)f(x)值较大的样本,这样评估出来的期望偏差会较大; 而如果我们找到一个qqq分布,使得它能在f(x)∗p(x)f(x)*p(x)f(x)∗p(x)较大的地方采集到样本,则能更好地逼近[Ef(x)][{E}f(x)][Ef(x)],因为有Importance Weight控制其比重,所以也不会导致结果出现过大偏差。 所以选择一个好的q也能帮助你sample出来的效率更高,要使得f(x)p(x)f(x)p(x)f(x)p(x)较大的地方能被sample出来。 无法直接求得p(x)的情况上面我们假设g(x)g(x)g(x)和q(x)q(x)q(x)都可以比较方便地计算,但有些时候我们这个其实是很困难的,更常见的情况市我们能够比较方便地计算p˜(x)\tilde{p}(x)p~(x)和q˜(x)\tilde{q}(x)q~(x) p(x)=p˜(x)Zpq(x)=q˜(x)Zqp(x) = \frac{\tilde{p}(x)}{Z_p}\\q(x) = \frac{\tilde{q}(x)}{Z_q}p(x)=Zpp~(x)q(x)=Zqq~(x) 其中Zp/qZ_{p/q}Zp/q是一个标准化项(常数),使得p˜(x)\tilde{p}(x)p~(x)或者p˜(x)\tilde{p}(x)p~(x)等比例变化为一个概率分布,你可以理解为softmax里面那个除数。也就是说 Zp=∫xp˜(x)dxZq=∫xq˜(x)dxZ_p = \int_x \tilde{p}(x)dx\\Z_q = \int_x \tilde{q}(x)dxZp=∫xp~(x)dxZq=∫xq~(x)dx 这种情况下我们的importance sampling是否还能应用呢? ∫xf(x)p(x)dxwhere g˜(x)=∫xf(x)p(x)q(x)q(x)dx=∫xf(x)p˜(x)/Zpq˜(x)/Zqq(x)dx=ZqZp∫xf(x)p˜(x)q˜(x)q(x)dx=ZqZp∫xg˜(x)q(x)dx=f(x)p˜(x)q˜(x)=f(x)w˜(x)\begin{aligned}\int_x f(x)p(x) dx &= \int_x f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x) dx\\&= \int_x f(x)\frac{\tilde{p}(x)/Z_p}{\tilde{q}(x)/Z_q}q(x) dx\\&= \frac{Z_q}{Z_p}\int_x f(x)\frac{\tilde{p}(x)}{\tilde{q}(x)}q(x) dx\\&= \frac{Z_q}{Z_p}\int_x \tilde{g}(x)q(x) dx\\where\ \ \tilde{g}(x) &= f(x)\frac{\tilde{p}(x)}{\tilde{q}(x)} = f(x) \tilde{w}(x)\end{aligned}∫xf(x)p(x)dxwhere g~(x)=∫xf(x)q(x)p(x)q(x)dx=∫xf(x)q~(x)/Zqp~(x)/Zpq(x)dx=ZpZq∫xf(x)q~(x)p~(x)q(x)dx=ZpZq∫xg~(x)q(x)dx=f(x)q~(x)p~(x)=f(x)w~(x)而ZqZp\frac{Z_q}{Z_p}ZpZq我们直接计算并不太好计算,而它的倒数: ZpZq=1Zq∫xp˜(x)dx而Zq=q˜(x)/q(x)所以ZpZq=∫xp˜(x)q˜(x)q(x)dx=∫xw˜(x)q(x)dx\frac{Z_p}{Z_q} = \frac{1}{Z_q}\int_x \tilde{p}(x)dx\\而Z_q = \tilde{q}(x)/q(x)\\所以\frac{Z_p}{Z_q} = \int_x \frac{\tilde{p}(x)}{\tilde{q}(x)}q(x)dx = \int_x\tilde{w}(x) q(x)dxZqZp=Zq1∫xp~(x)dx而Zq=q~(x)/q(x)所以ZqZp=∫xq~(x)p~(x)q(x)dx=∫xw~(x)q(x)dx 因为我们家设能很方便地从q采样,所以上式其实又被转化成了一个蒙特卡洛可解的问题,也就是 ZpZq=1m∑mi=1w˜(xi). xi∼q\frac{Z_p}{Z_q} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \tilde{w}(x_i).\ \ \ x_i \sim qZqZp=m1i=1∑mw~(xi). xi∼q 最终最终,原来的蒙特卡洛问题变成了: Ef(x)=∑mi=1wˆ(xi)f(xi).xi∼q其中wˆ(xi)=w˜(xi)∑mj=1w˜(xj){E}f(x) = \sum_{i=1}^m\hat{w}(x_i)f(x_i).x_i \sim q\\其中\hat{w}(x_i) = \frac{\tilde{w}(x_i)}{\sum_{j=1}^m \tilde{w}(x_j)}Ef(x)=i=1∑mw^(xi)f(xi).xi∼q其中w^(xi)=∑j=1mw~(xj)w~(xi) 所以我们完全不用知道q(x)确切的计算值,就可以近似地从中得到在q分布下f(x)f(x)f(x)的取值!!amazing! Importance Sampling在深度学习里面的应用在深度学习特别是NLP的Language Model中,训练的时候最后一层往往会使用softmax函数并计算相应的梯度。
而我们知道softmax函数的表达式是: P(yi)=softmax(xTwi)=exTwiZZ=∑∣V∣j=1exTwjP(y_i) = softmax(x^Tw_i) = \frac{e^{x^Tw_i}}{Z}\\Z = \sum_{j=1}^{|V|}e^{x^Tw_j}P(yi)=softmax(xTwi)=ZexTwiZ=j=1∑∣V∣exTwj 要知道在LM中m的大小是词汇的数量决定的,在一些巨大的模型里可能有几十万个词,也就意味着计算Z的代价十分巨大。 而我们在训练的时候无非是想对softmax的结果进行求导,也就是说 Δθ(logP(yi))=Δθ(xTwi)−∑y′∈VP(y′)Δθ(xTw′)\Delta_{\theta}(logP(y_i)) = \Delta_{\theta}(x^Tw_i)-\sum_{y'\in V}P(y')\Delta_{\theta}(x^Tw')Δθ(logP(yi))=Δθ(xTwi)−y′∈V∑P(y′)Δθ(xTw′) 后面那一块,我们好像看到了熟悉的东西,没错这个形式就是为采样量身定做似的。 ∑y′∈VP(y′)Δθ(xTw′)=EP[Δθ(xTw′)]\sum_{y'\in V}P(y')\Delta_{\theta}(x^Tw') = {E}_P[\Delta_{\theta}(x^Tw')]y′∈V∑P(y′)Δθ(xTw′)=EP[Δθ(xTw′)] 经典的蒙特卡洛方法就可以派上用途了,与其枚举所有的词,我们只需要从V里sample出一些样本词,就可以近似地逼近结果了。 同时直接从PPP中sample也不可取的,而且计算PPP是非常耗时的事情(因为需要计算Z),我们一般只能计算P˜(y)\tilde{P}(y)P~(y),而且直接从PPP中sample也不可取,所以我们选择另一个分布QQQ进行Importance Sample即可。 一般来说可能选择的QQQ分布是简单一些的n−gramn-gramn−gram模型。下面是论文中的算法伪代码,基本上是比较标准的流程(论文图片的符号和上面的描述稍有出入,理解一下过程即可):
##References 【1】mathematicalmonk’s machine learning course on y2b. machine learing 【2】Pattern Recognition And Machine Learning 【3】Adaptive Importance Sampling to Accelerate Training of a Neural Probabilistic Language Model.Yoshua Bengio and Jean-Sébastien Senécal.
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