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分类讨论数学思想是解决数学问题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，这时就需要分类讨论 . 本节主要介绍下等腰三角形中需要分类讨论的常见题型 . 类型一 当顶角或底角不确定时 1.已知等腰三角形的一个内角为 70°，则这个等腰三角形的顶角为（ A ） A.70° B. 40° C.70° 或 40° D. 70° 或 55° 2.一个等腰三角形的一个外角等于 110°，则这个三角形的三个角应该为： 70°、55°、55° 或 70°、70°、40° . 类型二 当底和腰不确定时 3.一个等腰三角形的一边长为 4 cm , 另一边长为 5 cm , 那么这个等腰三角形的周长是（ C ） A.13 cm B. 14 cm C.13 cm 或14 cm D. 以上都不对 4.已知实数 x , y 满足 | x - 4| + √(y-8) = 0 , 则以 x , y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ B ） A.20 或 16 B. 20 C.16 D. 以上都不对 【解析】 ∵ | x - 4| + √(y-8) = 0 , ∴ x = 4 , y = 8 . 这时底和腰都不确定，就需要分类讨论了. ① 当底是 4 时，腰为 8 时，以 4、8、8 为三边可以构成三角形， ∴ 周长 = 4 + 8 + 8 = 20 . ② 当底是 8 时，腰为 4 时，以 8、4、4 为三边构不成三角形 . 故选 B 答案 . 类型三 当高的位置不确定时 5.在等腰三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD = 1/2 BC，则 △ABC 底角的度数为： 45° 或 75° 或 15° . 【解析】 ① 当 △ABC 为直角三角形时，∠A = 90°，AB = AC，  ∵ AD⊥BC， ∴ ∠B = ∠C = 45° . ② 当 △ABC 为钝角三角形时，AB = BC，  ∵ 在 Rt△ADB 中，∠D = 90°，AD = 1/2 AB， ∴ ∠ABD = 30°， ∴ ∠BAC = ∠C = 15° . （三角形外角定理） ③ 当 △ABC 为锐角三角形时，BC = AC，  ∵ 在 Rt△ADC 中，∠ADC = 90°，AD = 1/2 AC， ∴ ∠C = 30°， ∴ ∠B = ∠BAC = 1/2（180° - 30°）= 75° . 综上所述：△ABC 底角的度数为 45° 或 75° 或 15° . 类型四 由腰的垂直平分线引起的分类讨论 6.在 △ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40°， 求底角 ∠B 的大小 . 【解析】 ① 如图，当 AB 的中垂线 MN 与 AC 相交时，  ∵ ∠AMD = 90°，∠ADM = 40°， ∴ ∠A = 90° - 40° = 50° . ∵ AB = AC , ∴ ∠B = ∠C = 1/2（180° - ∠A）= 65°； ② 如图，当 AB 的中垂线 MN 与 CA 的延长线相交时，  ∵ ∠AED = 90°，∠ADE = 40°， ∴ ∠DAB = 90° - 40° = 50° . ∵ AB = AC , ∴ ∠B = ∠C = 1/2 ∠DAB = 25° . 综上所述：底角 ∠B 的度数为 65° 或 25° . 类型五 由腰上的中线引起的分类讨论 7.等腰三角形底边长为 5 cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3 cm , 求腰长 . 【解析】  解：设等腰三角形的腰长为 2x , 一腰上的中线长为 y , 根据题意可得： （2x + x）- （5 + x）= 3 或（5 + x）-（2x + x）= 3 , 解得 x = 4 或 x = 1 , ∴ 2x = 8 或 2， ① 当 △ABC 的三边长为 8 , 8 , 5 时，符合三角形三边关系定理，可以构成三角形； ② 当 △ABC 的三边长为 2 , 2 , 5 时， ∵ 2 + 2 < 5 , ∴ 不符合三角形三边关系定理，构不成三角形 . 综上所述，等腰三角形的腰长为 8 cm . |
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