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等腰三角形是期末考试的重点，考查形式多样，在解决与等腰三角形的边或角度问题时，如果没有明确等腰三角形的边或角，一定要进行分情况讨论，防止漏解。常见
01腰和底边不明确 例题1：已知实数x，y满足|x-5|+（y-10）^2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） 分析：绝对值和平方都具有非负性，利用非负数的性质求出x、y，再根据三角形的三边关系定理确定等腰三角形的三边即可解决问题。 解：∵|x-5|+（y-10）^2=0，∴x-5=0，y-10=0，解得x=5，y=10， 以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是10+10+5=25， ∵5+5=10，∴5，5，10不可能构成三角形． 故以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是25. 例题2：定义：等腰三角形的底边与一腰的比值称为“完美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB=5cm，则它的“完美比”k=（） 分析：分两种情况：AB为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的完美k． 解：当AB腰时，则底边=3cm，三边分别为5cm、5cm、3cm，能构成三角形，此时，完美比k=3/5=0.6； 当AB为底边时，则腰为4cm，三边分别为5cm、4cm、4cm，能构成三角形，此时，完美比k=5/4=1.25.
02顶角和底角不明确 例题3：在等腰三角形ABC中，∠A=2∠B，则∠C的度数为（ ） 分析：分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可． 解：设∠B=x°，则∠A=2x°， 当∠A是顶角时，∠A+2∠B=180°， 即：4x=180，解得：x=45，此时∠C=∠B=45°； 当∠A是底角时，2∠A+∠B=180°， 即5x=180，解得：x=36°，此时∠C=2∠B=72°， 综上所述，∠C的度数为45°或72°． 例题4：如果等腰三角形的两个内角之比为1：4，求这个三角形三个内角各是多少度？ 解：（1）当较小角为底角时，设较小角为x， 则x+x+4x=180°，解得x=30°，则4x=120°． 故三角形三个内角的度数分别为30°、30°、120°； （2）当较大角为底角时，设较小角为x， 则x+4x+4x=180°，解得x=20°，则4x=80°． 故三角形三个内角的度数分别为20°、80°、80°
03等腰三角形的腰与高的夹角 例题5：若等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为25°，则这个等腰三角形的顶角是（ ） 分析：等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是65°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是115°．
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出65°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题。 04腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角 例题6：已知等腰△ABC，AB=AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为40°，则等腰△ABC底角的度数为（） 分析：作出图形，分①DE与线段AC相交时，根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②DE与CA的延长线相交时，根据直角三角形两锐角互余求出∠EAD，再求出∠BAC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解. 解：①DE与线段AC相交时，如图1，∵DE是AB的垂直平分线，∠AED=40°，∴∠A=90°-∠AED=90°-40°=50°， ∵AB=AC，∴∠ABC=1/2（180°-∠A）=1/2（180°-50°）=65°； ②DE与CA的延长线相交时，如图2，∵DE是AB的垂直平分线，∠AED=40°，∴∠EAD=90°-∠AED=90°-40°=50°， ∴∠BAC=180°-∠EAD=180°-50°=130°，∵AB=AC， ∴∠ABC=1/2（180°-∠BAC）=1/2（180°-130°）=25°， 综上所述，等腰△ABC的底角∠B的大小为65°或25°．
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