旋转法解题

hyqg8 2020-03-20

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提要

旋转法是一种用旋转变换解题的方法。在平面内，将一个图形绕一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。其中，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

知识全解

一．旋转法的概念

利用旋转变换解题的方法叫做旋转法。利用这种方法解题，关键的是确定绕哪个点旋转和旋转角的大小及正确运用旋转变换的性质解题。

（1）旋转是图形的一种基本变换，我们所学的旋转是同一平面内的图形变换

（2）旋转的角度是对应点与旋转中心连线的夹角

（3）图形旋转不改变图形的形状和大小，所以旋转前后的两个图形是全等图形。

二．旋转的特征

图形旋转具有下列特征

（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度

（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等

（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的方向。

三．旋转法的解题策略

旋转法在解答问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论关系不明显或添加不易集中利用的情形下，通过旋转，起到铺路架桥的作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转法，移动部分图形，使题目中隐藏的关系明朗起来，从而找到解题途径。

旋转的目的是将分散的条件集中，为解题创造条件。

学法指导

类型1 旋转求角度

例1 如图所示，P为正△ABC内一点，PC=3，PA=4，PB=5，求∠APC的度数

【解析】由题中已知条件中的3，4，5这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA,PB,PC集中到一个三角形中，可以将△APC以点A为中心，顺时针旋转60度，到△AP’B的位置，连接PP’，从而可得∠APC=∠AP’B=∠AP’P+∠BP’P，然后设法求出∠AP’P，∠BP’P的度数即可。

解：把△APC绕点A顺时针旋转60度，得△AP’B，则P’B=PC=3。连接PP’

∵AP=AP’,∠PAP’=60度

∴△APP’是等边三角形，∴PP’=PA=4

【点评】本题是在等边三角形中通过旋转构造出新的等边三角形和直角三角形，进而利用等边三角形和直角三角形的形状，求得的度数。

类型2 旋转证明线段和差

例2 如图所示，已知点E,F分别是正方形ABCD中BC,CD边上的点，且∠EAF=45度，试说明：EF=BE+DF

【解析】这里要说明EF等于BE与DF的和，我们可以考虑BE与DF合并成一条线段，再说明这条线段与EF相等。于是通过旋转变换，把△ADF绕A点顺时针旋转90度到△ABM这个位置，这时只需说明△AEF和△AEM全等就可以了。

解：因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=∠ABC=90度，AB=AD。把△ADF绕点A顺时针旋转90度，得△ABM，由旋转的性质可得，∠ADF=∠ABM=90度，AM=AF，∠MAB=∠FAD。所以点M,B,E在同一条直线上，所以∠MAE=∠FAE=45度，在△AEM与△AEF中，AM=AF，∠MAE=∠FAE，AE是公共边，所以△AEM≌△AEF，所以ME=FE。又因为BM=DF，所以EF=BE+DF。

【点评】当条件中有正方形，等边三角形，等腰三角形，相等的线段等情形时，常用旋转变换构造全等三角形，以集中条件，解答问题。

类型3 旋转比较大小

例3 如图所示，已知△ABC中，AB=AC，CD>BD。试说明∠ADB>∠ADC。

【解析】这里∠ADB和∠ADC分别在△ADB和△ADC两个三角形中，为了利用CD>BD这个条件，可以将△ADB绕A点旋转到△ABC的外边，再利用已知条件将结论集中到一个三角形中取。

解：将△ADB绕A点逆时针旋转与∠BAC相等的度数，使之到达△ACE的位置。因为AB=AC，所以旋转后AB和AC重合，连接DE，则∠AEC=∠ADB，CE=BD，AE=AD。因为CD>BD，所以CD>CE，所以∠CED>∠CDE。因为AD=AE，所以∠AED=∠ADE。即∠AED+∠CED>∠ADE+∠CDE，

即∠AEC>∠ADC。又因为∠AEC=∠ADB，所以∠ADB>∠ADC。

【点评】本题若将结论∠ADB>∠ADC和条件CD>BD交换位置，仍可用上述分析得到说明。

链接中考

考点1 求角的度数

例1 如图所示，P是正方形ABCD内一点，PA=2，PB=1，PD=3，求∠APB的度数