备战2010中考:熟练运用旋转解决平面几何中的问题

平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．

    例  图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．

    求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．

分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。

一、按旋转的角度进行区分

  1、90°角旋转

  例1  如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。

解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。

 

例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．

    分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．

解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．

则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB．

于是PB=QB=2a，PQ= =2 a．

在△PQC中，∵PC²=9a²，PQ²＋QC²=9a²．

∴PC²=PQ²＋QC²． ∴∠PQC=90°．

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=∠BQP=45°．

故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．

(2)∵∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°，

∴三点A、P、Q在同一直线上．

在Rt△AQC中，AC²=AQ²＋QC²=(a＋2 a)²＋a²=(10＋4 )a²．

故S_{正方形ABCD}= AC²=(5＋2 )a²．

思考  例2中，如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM，怎样解以上问题?(答:

(1)△PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP，垂足为N．则PN=BN= ，于是在△ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积．)

 

  2、60°角旋转．

  例1  如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：△AMN是等边三角形。

   证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60°为△ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M，故AN=AM，∠NAM二60°，即△AMN是等边三角形。

 

    例2  如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的大小。

    解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形—边与AB重合。设P旋转后为P′，则△APP′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'²+PB²=P′B²．从而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP′+∠P'PB=60°+90°=150°。

 

 

例3  如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD²=AB²＋BC²．

分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．

证:连接AC．

∵AD=DC，∠ADC=60°，

∴△ADC是等边三角形．

故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．

于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．

∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°．

∵∠ABC=30°， ∴∠ABE=90°．

故AB²＋BC²=AB²＋BE²=AE²=BD²．

 

练习．已知：如图，M是等边△ABC内的一个点，且MA=2cm，MB= cm，MC=4cm，求：△ABC的边AB的长度。

 

 

 

3、旋转到特殊位置

 平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．

    例  图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．

    求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．

分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。

一、按旋转的角度进行区分

  1、90°角旋转

  例1  如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。

解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。

 

例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．

    分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．

解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．

则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB．

于是PB=QB=2a，PQ= =2 a．

在△PQC中，∵PC²=9a²，PQ²＋QC²=9a²．

∴PC²=PQ²＋QC²． ∴∠PQC=90°．

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=∠BQP=45°．

故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．

(2)∵∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°，

∴三点A、P、Q在同一直线上．

在Rt△AQC中，AC²=AQ²＋QC²=(a＋2 a)²＋a²=(10＋4 )a²．

故S_{正方形ABCD}= AC²=(5＋2 )a²．

思考  例2中，如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM，怎样解以上问题?(答:

(1)△PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP，垂足为N．则PN=BN= ，于是在△ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积．)

 

  2、60°角旋转．

  例1  如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：△AMN是等边三角形。

   证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60°为△ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M，故AN=AM，∠NAM二60°，即△AMN是等边三角形。

 

    例2  如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的大小。

    解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形—边与AB重合。设P旋转后为P′，则△APP′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'²+PB²=P′B²．从而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP′+∠P'PB=60°+90°=150°。

 

 

例3  如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD²=AB²＋BC²．

分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．

证:连接AC．

∵AD=DC，∠ADC=60°，

∴△ADC是等边三角形．

故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．

于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．

∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°．

∵∠ABC=30°， ∴∠ABE=90°．

故AB²＋BC²=AB²＋BE²=AE²=BD²．

 

练习．已知：如图，M是等边△ABC内的一个点，且MA=2cm，MB= cm，MC=4cm，求：△ABC的边AB的长度。

 

 

 

3、旋转到特殊位置

 平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．

    例  图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．

    求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．

分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。

一、按旋转的角度进行区分

  1、90°角旋转

  例1  如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。

解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。

 

例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．

    分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．

解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．

则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB．

于是PB=QB=2a，PQ= =2 a．

在△PQC中，∵PC²=9a²，PQ²＋QC²=9a²．

∴PC²=PQ²＋QC²． ∴∠PQC=90°．

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=∠BQP=45°．

故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．

(2)∵∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°，

∴三点A、P、Q在同一直线上．

在Rt△AQC中，AC²=AQ²＋QC²=(a＋2 a)²＋a²=(10＋4 )a²．

故S_{正方形ABCD}= AC²=(5＋2 )a²．

思考  例2中，如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM，怎样解以上问题?(答:

(1)△PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP，垂足为N．则PN=BN= ，于是在△ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积．)

 

  2、60°角旋转．

  例1  如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：△AMN是等边三角形。

   证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60°为△ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M，故AN=AM，∠NAM二60°，即△AMN是等边三角形。

 

    例2  如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的大小。

    解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形—边与AB重合。设P旋转后为P′，则△APP′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'²+PB²=P′B²．从而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP′+∠P'PB=60°+90°=150°。

 

 

例3  如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD²=AB²＋BC²．

分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．

证:连接AC．

∵AD=DC，∠ADC=60°，

∴△ADC是等边三角形．

故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．

于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．

∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°．

∵∠ABC=30°， ∴∠ABE=90°．

故AB²＋BC²=AB²＋BE²=AE²=BD²．

 

练习．已知：如图，M是等边△ABC内的一个点，且MA=2cm，MB= cm，MC=4cm，求：△ABC的边AB的长度。

 

 

 

3、旋转到特殊位置