【中考数学专题】三大变换之旋转（三垂直模型）

上一篇我们了解了关于手拉手模型的一些内容，同样作为模型，但“三垂直”的定位和“手拉手”并不相同，“手拉手”本身可以作为问题，而“三垂直”更多地作为一种方法来帮助解决问题，因而我们要了解的侧重点也会有所调整，依然有三点：

（1）三垂直模型的构成；

（2）什么条件下考虑构造三垂直；

（3）构造三垂直能带来什么．

01

三垂直模型的构成

△ABC是等腰直角三角形，一条直线过点C，分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为D、E，则△ADC≌△CEB．

【小结】尝试用文字来描述三垂直模型：

一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型．（等腰、直角、作垂直）

【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？

等腰——可得一组对应边相等；

直角+作垂直——可得两组角对应相等．

【弱化条件】

（1）如果没有等腰？

依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等．

如图，有△ADC∽△CEB．

特别地，若点C为BD中点，

则△ADC∽△CEB∽△ACB．

（2）如果没有直角？

直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它们都相等，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型

举个关于一线三等角的例题：

2018遵义中考-对称章节里见过

看个例子就可以了，今儿不聊一线三等角的事．

02

什么条件下构造三垂直？

根据问题一的分析已经很明显了，可以没有等腰，但需要有直角，当然如果是等腰直角那就再好不过了．

那看到有直角就考虑构造三垂直？当然也不是，起码问题得和直角相关，并且这个直角是斜着的．

引例1-几何图中的构造三垂直

引例2-坐标系中的构造三垂直

【小结】尤其是在坐标系中，构造三垂直可以帮助计算点坐标或直线解析式，并且触发条件除了直角之外，也可以是其他确定的角，比如45°角．

引例3-45°角构造三垂直全等

【小结】设计坐标系中构造三垂直，尽可能让直角顶点是已知点，会简便计算，如上题中的第一种作图优于第二种．

除了45°之外，坐标系中出现其他的确定角，亦可构造三垂直．

引例4-已知角构造三垂直相似

【小结】当没有直角、没有45°的时候，构造出来的便是三垂直相似，而非全等了，对于计算线段来说，全等还是相似，又有什么区别呢？

03

三垂直带来什么？ 

这其实本身不应该是一个问题，而是对前文的思考．三垂直是如何帮助我们解决问题的？

构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换．另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，会更方便计算．

继续来看相关中考真题：

2019宜昌中考

2017苏州园区模拟

2019十堰中考

2019无锡中考

2019沈阳中考

2016河南中考（居然有备用卷）

【写在最后】

知其然，知其所以然；知其用，知其何以用．

来源：有一点数学，作者刘岳