神奇的模型数学（20）—分类讨论是初中数学永恒的主题

神奇的模型数学（20）—分类讨论是初中数学永恒的主题

问题提出：

上期巩固练习：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l ：y=2x+3，直线l ：y=2x-3.

（1）分别求直线l 与x轴，直线l 与AB的交点坐标；

（2）已知点M在第一象限，且是直线l 上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标.

这是根据绍兴市2016年中考数学第24题改编的题目，适合于八年级学生练习，它不但需要综合运用“三垂直模型”与“分量与总量模型”，而且对△APM是等腰直角三角形的直角顶点的不确定性要进行，分类讨论是初中数学永恒的主题.

构建模型：

分析：

（1）根据坐标轴上点的特征可求直线l 与x轴的交点坐标，根据平行于x轴的直线上点的特征可求直线l 与AB的交点坐标；

（2）分三种情况讨论可求点M的坐标：

①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；

②若点P为直角顶点时，点M在第一象限（如图2）；

这个图很有意思，以矩形的一组邻边为基础构建“三垂直模型”后，形成了N、B、P、C四点共线.由“分量与总量模型”可知,PN+BC=CN+BP,因为PN=AB,BP=MN,所以有AB+BC=CN+MN,即.CN+MN=4+3.即可求点M的坐标；

③若点M为直角顶点时，点M在第一象限.

（i）当M在AB下方时，如图3构建“三垂直模型”,根据等式AG +G M =4即可求点M 的坐标；

（ii）当M在AB上方时，如图4构建“三垂直模型”,此类问题的关键是确定等量关系，这时又该如何确定等量关系呢？当然可以用类比的方法，如（i）中用等式AG +G M =4去求点M 的坐标；

其实这是一个很有趣的图形，正能良在这里分享一个更好、更快捷的方法.

当四边形PCQF是正方形时，则矩形ABCD的周长=矩形AEFG的周长.即AB+BC=AE+EF.

所以图4中有M 的横纵坐标之和=4+3.你说神奇不神奇？有趣不有趣？从中我们能体会到学习数学的乐趣！

问题解决：

（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，

如图1，∵∠APM>∠APB>∠ACB>45°，

∴△APM不可能是等腰直角三角形，

∴点M不存在；

下期预告：

已知△ABC中，∠A=120°，∠B=40°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来、只需画图，不必说明理由，但要在图中所画的等腰三角形内标出所有角的度数）.