GD&T系列-基准偏移系列6：如何正确思考基准偏移（1）？

今年的我们(公H:智慧汽车供应链）来讨论一个技术话题，来继续讨论一个好久没有探讨过的话题，基准偏移（Datum Shift)。

所谓基准偏移，就是在基准后边加一个M圈，专业术语叫对基准采用最大实体要求。

以前总是有测量界的工程师来找我，说家里的三坐标机软件，不支持基准后边带M圈，但是产品测量出来的结果超差一点点，怎么根据测量数据来判断基准（带M圈后）的“补偿”能否使得产品合格呢？比如下图（示意图）：

图1 客户图纸标注

在图1中，20的孔，因为坐标机不支持基准带M圈，所以在C基准不带M圈的前提下，测得的实际位置度是P=0.48, 那么我们如何判断该孔在基准C带M圈后是否合格？

要判断被测孔是否合格，显然必须要回答下面两个问题：

1. 怎么计算基准偏移带来的“补偿”值？

2. 如何处理这个“补偿”值来判断该零件是否合格？

相信这是一个困扰很多工程师很久的一个话题，不仅仅是测量工程师，设计工程师，还是GD&T的发烧友们都会好奇或者思考上面两个问题。

基准偏移本身是一个比较复杂的问题。作为开头，今天我们就花大量篇幅来一层层“剥洋葱”，就图1的案例来慢慢分析，一层一层给它扒开，分析基准偏移的本质，初步体会一下它的“辣眼睛”特性。

因为涉及到理论溯源的问题，本篇文章是基于ASMEY14.5-2018标准，借助于该标准的逻辑推演而来。而ISO2692（关于最大实体要求的标准）中体现出的流氓本性，对数学推理和计量并不友好，要理顺其后台的数学关系，会更加复杂，所以本文暂时不借用ISO。

但是，本文的结论是对两个标准都通用的。

如果你是第一次在本公众号阅读文章，在读本篇文章之前，建议阅读本公众号前几篇相关系列文章，在文章的最后有链接。

本期文章将分以下3个章节来探讨：

1. 迁就之爱的局限性

2. 迁就之爱的“量”

3. 如何利用迁就之爱

因为篇幅实在太长，今天只放送前2个章节。

接下来，我们就慢慢开始剥洋葱。

第1章的内容又分3个主题，1. 三个推论和咬死规则；2. 迁就之爱的由来；3. 迁就之爱的局限性。

1. 三个推论和“咬死”规则

此三条推论并非本文的推论，而是来自于标准本身的结论（ISO和ASME通用），本文会反复用到，所以先特地整理出来。它们分别如下：

推论1：孔作为基准时，基准是一根轴线，是基准要素对应的基准模拟体（圆柱）的中心轴线；

推论2：公差带必须要与基准系里的各基准保持绝对的方向关系和位置关系；

(GZH:智慧汽车供应链）

推论3：只要被测要素能全部落在公差带范围内，即被测要素能够全部被公差带罩住，该被测要素就是合格的（满足其对应几何公差要求）。

尽管对很多工程师来说，这句话3个推论有点废话的感觉，但为了照顾到入门级的小伙伴，本文还是要强调一下，因为这是本文的基础逻辑。

先拿一个案例来认识一下这三条推论，就图1中，20的孔的位置度要求而言，示例图如下:

(GZH:智慧汽车供应链）

图2. 图纸标注

图3 基准，基准模拟体和公差带

推论1，指的是图3中，实际零件上的C孔，那个用手可以摸得着的不理想的圆柱就叫基准要素，它的最大内切圆柱体（该最大内切圆柱必须和基准A,B保持绝对的方向关系和位置关系，即绝对垂直，绝对20的距离为前提，再去和基准要素C最大内切后形成），也就是图3中那个黄色的圆柱体，叫基准模拟体，最新标准叫几何对配体（Geometric Counterpart), 该黄色的的圆柱体的中心轴线，就是基准C。

推论2，指的是图3中洋红色的公差带（直径为0.3）和基准ABC保持绝对的方位关系。即该公差带的中心轴线和基准A绝对垂直，和基准B的距离是绝对的20，水平方向上和基准C的距离是绝对的40。

推论3， 指的是图3中被测要素，即被测孔的中心轴线，必须要全部落到直径为0.3的洋红色圆柱体（公差带）范围内才算合格。

我们仔细琢磨上面的3条结论，可以发现GD&T的游戏规则中，有一条连环“咬死”法则（具体见图4）：

1) 基准要素通过体外贴合咬死基准模拟体和基准在空间中的姿态

2) 基准通过理论正确尺寸咬死了公差带在空间中的姿态

3) 公差带通过包容咬死了被测要素的活动范围

图4 连环“咬死”规则

注意，图4中的咬死规则，是咬的死死的，没有任何回旋余地。

除非，基准加了M圈。

当基准要素加了M圈后，基准要素和基准模拟体之间就开始“松口”，咬得没那么死了，会出现一点点的“回旋余地”。见图5：

图5 “松口”的现象

这个松开的口子，就是本文的主题，迁就之爱的前提（基准偏移）就产生了。

2. 迁就之爱的由来

我们在基准偏移的系列文章中就指出，当基准不带M圈时，基准要素和基准模拟体是贴死的（属于咬死状态），而当了基准带M圈后，基准模拟体的大小是一个固定的直径（直径的具体大小后边讨论），基准要素和基准模拟体之间就可能有间隙存在（属于松口状态）。

而基准要素和基准模拟体之间存在的间隙，也就是这个松开的口子，就允许基准模拟体相对于基准要素可以自由的“游荡”。见图6：

图6 基准要素和基准模拟体之间的间隙

图6中显示，C的基准要素和基准模拟体之间存在间隙Gap, 所以图6中那个黄色的基准模拟体就可以在基准要素留下的直径为Dh的空间中任意游荡（这个空间实际上就是内边界IB, 它直径Dh的大小我们后边会讨论），又因为C基准就是黄色基准模拟体的中心，所以它也会随着黄色基准模拟体任意游荡。见图7：

A. 基准往右偏

A. 基准往左偏

图7. 左右游荡的基准

注意，我们之前的系列文章中，有一篇《基准偏移在检具中就是零件偏移》，其中假设检具不动，零件动。而本文刚好相反，假设零件是不动的，让基准模拟体动。这个前提逻辑上没有问题，运动是相对的，我们更加关心相对运动的后果。

图7中，红色轴线为原始基准C（不加M圈时的基准）， 洋红色为偏移后的基准（基准加M圈后）。当然，图7中A图和B图显示的是偏移后的基准轴相对于原始基准左右偏移的最大量为DS1和DS2, 显然结合图6，它们具备以下关系：

DS1 = DS2 = Gap （1）

我们再定义，基准偏移DS为：

DS = DS1 + DS2 = 2*Gap （2）

图7中加M圈后的基准可以围绕原始基准左右偏的现象，叫基准偏移, 英文的术语叫Datum Shift。Datum Shift本身是一个非常形象的表达，不知道被哪个大神直译成“基准偏移”，不太形象，其实我更喜欢有老师翻译的“基准飘移”。

“飘移”多少有点被动凄凉的味道, 想想文天祥的诗“身世浮沉雨打萍”，这个能够“飘移”的基准，其实就像池塘中的浮萍，它最终确定的位置不是由它自己决定的，是被其他人决定的。

为了尊重习惯，本文中还是叫基准偏移。

需要说明的是，图7中的A图和B图仅仅显示的是，基准轴C可能的极限位置，并非最终位置。

基准轴C最终的位置，取决于右侧的理想要素和被测要素的最佳拟合结果。本期文章不作讨论。

根据前面提到的连环咬死规则，目前我们看到的只有一个环节松口，那就是基准要素和基准模拟体之间有间隙存在，导致基准可以凄凉的游荡来游荡去。

但是，基于前面提到的结论2， 基准和公差带之间的咬死关系（这种咬死关系被理论正确尺寸确定）并没有任何松口现象。那就意味着，公差带还是必须要和基准保持绝对的方向关系和位置关系，尽管这个基准是荡来荡去的。

所以，这个游荡来游荡去的基准轴，必然会导致公差带跟着游荡来游荡去。见图8。

A. 公差带跟着往右动

B. 公差带跟着往左动

图8 跟着动的公差带

为了加深大家的印象，我们将基准模拟体，基准，公差带和被测要素单独抽取出来，如下图（图9）。

图9 抽取出来的四个元素

我们再来看看，如果基准模拟体在一定范围内游荡，公差带是怎样也在跟着游荡。见下面视频：

视频1 可移动的公差带

通过视频我们可以看出，基准移动，公差带也跟着移动，其结果就是，明明一个在公差带外边的被测要素，公差带通过移动，可以把被测要素给“罩”进去，使被测要素变得合格。

尽管基准飘移听起来有点凄凉，对制造供应商来说可是好事，因为合格率提高了。

基准偏移其实就是对被测要素的纵容，允许被测要素离理想中心可以更远一些。但这种纵容是有维度的，有局限性的，所以我以前的文章把它称为迁就之爱。

接下来我们就来看看这种迁就之爱的局限性。

3. 迁就之爱的局限性

首先我们再来看看前面的图：

A 图纸标注

B 公差带和基准系ABC的关系

图10 公差带和基准系ABC

这回，我们让图10B中的洋红色公差带作为主角（红圈部分）。根据图10中A图的标注可知，对于20的孔位置度的公差带来说，A作为第一基准，该直径为0.3的洋红色公差带必须要和A垂直，B作为第二基准，该公差带必须要和B保持距离为20的理想位置关系。C作为第三基准，该公差带在图9B中水平方向上必须要和C保持距离为40的理想位置关系。

也就是说，尽管有来自第三基准的迁就之爱，公差带可以水平左右“游荡”，但是公差带还是必须要和A,B保持绝对的方位关系，并无一点放松的意思，因为基准A,B没有带M圈，基准要素和其基准模拟体是永远处于“咬死”的状态。

所以，看起来公差带比较自由的样子，并非肆无忌惮，实际上它必须和A绝对垂直，和B的距离是绝对的20，它之所以可以左右游荡，那是因为基准C可以左右游荡（基准要素和基准模拟体之间存在间隙，没有贴死的原因）。

这就是我提到的基准偏移带来的“补偿”具备狭隘性，所以称为迁就之爱。

它狭隘在哪里呢？如果被测要素相对于基准A,B的关系不好，比如和A的垂直关系不好，或者和B的距离关系不好，基准C带来的偏移，或者说补偿，或者说迁就之爱，是一点都不能对它进行纵容的！

注意，是一点都不能。

也就是说，如果被测要素和基准A的实际垂直度达到0.31，该零件就一定不合格！因为水平游荡的公差带不可能把被测要素给包进去。

图11 垂直度不好的被测要素

从图11中，我们可以看出，垂直度不好的时候，无论公差带怎么平移，都不可能把被测要素全部给罩进去。我们看个动图：

(公ZH:智慧汽车供应链）

视频2 被测要素垂直度不好

从动图中我们可以看出，公差带在“罩”被测要素的过程中，会出现“顾头不顾尾”的现象。

还有一种情形，那就是如果被测要素和基准B的距离关系（20）不好，哪怕垂直度非常好，公差带通过游荡，也不可能把被测要素给包进去。见图12：

图12 位置不好的被测要素

图12中，如果被测要素和基准B的距离关系不好，比如被测要素和基准B的实际距离小于19.85或者大于20.15（因为位置度是0.3），尽管公差带可以游荡，但始终处于“够不着”的状态，没有办法把被测要素给包进去。看动图：

视频3 被测要素位置不好

通过我们对基准偏移带来的补偿（迁就之爱）局限性的分析，我们会发现一个规律，因为基准系中，每个基准负责约束公差带不同维度的自由度（三个平移Tx, Ty, Tz，三个旋转Rx, Ry, Rz），当某个基准加了M圈后，它仅仅能在它所负责的自由度的维度上进行放松，让公差带在该维度上可以“游荡”。

而不归它管的自由度，它是一点都不能给补偿的。比如上面C基准对A基准所负责的垂直度，和B基准所负责的距离关系，它在这些维度上是无能为力，不能给任何补偿。

这个特点对我们的实际生产检测有什么意义呢？

当然有意义！回到我们本文开头遇到的问题，如果我们知道被测孔相对于AB的方位关系超出0.3，那么就不要对C加M圈抱任何期望，该零件直接NG。

如何知道被测要素相对AB的方位关系好还是不好呢？很简单，用三坐标再评价一次相对于AB的位置度就可以了。

图13 再评价一次相对AB的位置度

回到本文开头的问题，如果我们发现零件相对ABC基准的位置度超差（基于我们给的假设，三坐标不支持带M圈, 但图纸带M圈），比如实测位置度大于0.3了（比如实测位置度是0.48），我们的处理办法是什么呢？

首先我们还要再评价一次被测孔相对AB基准的实际位置度（见图13中的红框部分），如果相对AB基准系的位置度P_AB超出0.3（比如P_AB=0.35)，该零件直接判为不合格。

因为我们前面刚刚用动图分析过，此时，公差带无论怎么移动，都不可能把被测要素给罩进去。

如果被测孔相对AB基准系的位置度P_AB小于0.3，比如P_AB = 0.2，好了，此时我们可以对C基准带来的补偿抱有期望，此时公差带通过飘荡才有可能把被测要素给罩进去。以AB为基准系的位置度合格后，被测孔分布区域如下图：

图14 以AB为基准系的位置度区域

图14中位置度P_AB的图形是由一个可以水平移动的圆柱形形成的区域，显然，只要被测要素能够全部落在图13中任意一个洋红色的圆柱体以内，此时图10中0.3的公差带通过“游荡”是可能把被测要素罩进去的。

注意，我说的是可能，究竟能不能罩进去，取决于公差带能够游荡的范围是否足够。

如何计算这个游荡范围，也就是计算迁就之爱的量呢？我们第二章讲。

本章小回顾

本章比较长，也就是再回顾了前几篇系列文章的内容。本章刚开始讲解了咬死规则，基准要素咬死基准，基准咬死公差带，公差带框住被测要素。而正是当基准加M圈后，基准要素和基准模拟体之间有“松口”的现象，所以基准模拟体相对于基准要素相互之间有间隙存在，所以基准模拟体可以相对基准要素“游荡”，当然基准（基准模拟体的中心）也跟着游荡，基准这种荡来荡去的特性，这就是基准偏移（Datum Shift）的由来。

而基于咬死规则，公差带和基准之间存在咬死关系（由理论正确尺寸确定），所以基准动，公差带也跟着动，那么公差带也随着基准荡来荡去。公差带就是通过这种游荡可能罩住原本在公差带外边的被测要素，使得零件合格。这种“补偿”这就是我们提到的迁就之爱。

又因为基准的“游荡”是有维度的，所以迁就之爱带来的补偿是有维度的，具备狭隘性。它的规则是，带M圈的基准约束公差带哪个自由度，当基准偏移产生时（缝隙Gap存在时），该公差带就能在哪个自由度上游荡，做补偿。而不归该带M圈基准负责的自由度，迁就之爱是不能做任何补偿的。

所以文章最后提到了，一旦发现零件在不带M圈的前提下超差，首先要判定是在哪个维度上超差。所以本期文章案例给出了建议，首先要测被测孔相对AB的位置度，如果不合格，零件直接NG；如果合格，再来想办法判断基准C带来的补偿是否足够。

我们再往下走。

既然要判断基准C带来的偏移是否能够让被测要素合格，那要看公差带游荡的范围是否足够大，以至于能够把被测要素全部罩进去。

这个公差带游荡的量，我们给它取名叫TS（Tolerance Shift），术语叫公差偏移（注意，不是基准偏移），它就是迁就之爱的量。

显然，根据我们前面一通分析，就本案例而言，公差带游荡的量TS完全取决于基准偏移的量DS。

这里稍微说明一下，本案例中有TS = DS, 因为基准在水平方向上动多少，公差带也在水平方向上也跟着动多少。基于这种情况，我们称为基准偏移敏感度Sensitivity=1, 因为：

Sensitivity = TS/DS

当然还有Sensitivity大于1和小于1的情形，当带M圈的基准负责约束公差带旋转（不是平移）的自由度时，这个基准偏移敏感度可能大于1或者小于1，往往取决于被测要素的位置。

这些内容我们以后系统讨论。

再扯一个额外的话题，以前有小伙伴问我，既然公差带可以潇洒的飘荡来飘荡去，它可以靠近被测要素，也可以远离被测要素啊，会不会把一个原本在公差带里边的被测要素，潇洒的给“飘”到公差带外边去了？让一个合格的零件变得不合格？

答案是，不会。

公差带飘荡来飘荡去，只是我的一个比方，表示在进行评价之前，公差带有这些可能的位置或空间，注意，仅仅是可能的位置。事实上，公差带就像猫，被测要素就像老鼠，玩的是一个猫抓老鼠的游戏。评价后的公差带只在一个唯一的位置。

(公ZH:智慧汽车供应链）

那就是，公差带必须尽最大限度靠近被测要素（猫拼命靠近老鼠）。

为什么呢？谁规定的公差带非要最大限度的靠近被测要素呢？

无论是ISO标准还是ASME标准（或者国标GB/T 1958），在评价位置度的时候，评价的方法都是“定位最小区域法”，这个“最小”两个字，就决定了飘荡公差带的原始动力。为了得到最小的测量结果（最小区域法的本质），公差带的中心，也就是理想要素，必须最大限度靠近被测要素，使得公差带尽可能罩住被测要素。

要是罩不住怎么办？罩不住也得使劲罩啊，能罩一点算一点，哪怕让被测要素少露一点出来也好。

如果还不理解的小伙伴，建议看看公众号往期文章“切比雪夫法与测量的本质”，本文最后有链接。

回到主题，本文案例中如何计算DS（或者TS）?

显然DS就是基准模拟体和基准要素之间的总缝隙。见图15：

图15 基准偏移DS的计算

图15中，基准能够单侧游荡的量取决于Gap（缝隙）, 来回游荡的总量叫DS基准偏移, 由图15中的关系有：

DS = 2*Gap = Dh - D (3)

所以要想求得Gap或DS, 关键是要知道D和Dh大小。

那么首先，我们需要理解一下D和Dh分别代表哪两个尺寸。

D表示基准C的基准模拟体的直径，这个黄色的基准模拟体，实际上就是检具上代表C的定位销。前面讲过，它的直径是一个固定值，是多少呢？

根据ASME14.5标准或ISO2692标准的相关规定，在ABC基准系里边，如果C带M圈，它的基准模拟体的直径是一个固定值，该值是基准要素C相对于其高序基准，即A,B基准系的最大实体实效边界MMVB.（如果对边界理论不清楚的小伙伴，建议文章最后的链接《边界之殇》。）

所以有: D = MMVB (4)

如何来计算C相对于基准系AB的MMVB呢？这个要看基准要素C的自身的形位公差, 见图16：

图16 基准C的MMVB

见图16，基准要素C相对于基准系AB的最大实体实效边界MMVB要看红圈部分的几何公差，显然根据MMVB的定义有：

MMVB = MMC - 位置度 = 14.9 - 0.2 = 14.7 (5)

结合公式（4），我们则可以得出黄色的基准模拟体的直径D为：

D = MMVB = 14.7 （6）

如果做检具的话，代表基准C的定位销直径就是14.7。

好了，D我们知道了，如果要根据公式（3）要来计算DS, 还必须知道Dh。

我们再来处理Dh。

Dh其实表示的是在实际零件上，基准孔C相对于AB基准系的内边界（IB), 内边界是一个圆柱形的空间，它的特点是该空间以内永远没有材料，空心的，而且和基准AB保持理想的方位关系。见图17：

图17 基准要素C空心的内边界

图17中，绿色的空心圆柱体就是基准要素的内边界IB（它其实和基准C不带M圈时的基准模拟体是同一个圆柱）。

那么这个圆柱的直径Dh应该怎么算呢？

根据内边界的计算公式（实际上，有些算法强大的软件可以直接计算出来）：

Dh = IB

= 实际最大内切圆柱直径 - 实际位置度 （7）

假设，我们对实际零件进行测量发现，基准C孔的最大内切圆柱直径为15.02，实测位置度为0.04，那么内边界的尺寸为：

Dh = IB = 15.02 - 0.04 = 14.98 （8）(公ZH:智慧汽车供应链）

再结合前面基准模拟体的尺寸（3），我们很容易算出来基准的偏移量：

DS = Dh - D = 14.98 - 14.7 = 0.28

图18 基准偏移的量

图18中，基准偏移的量就是DS = 2*Gap = 0.28, 也就是说，基准C相对于原始基准可以左右各偏移0.14。

稍微再总结一下DS的一个统一公式：

DS=基准实测最大内切圆柱直径-实测位置度-MMVB (9)

从上面公式，我们还可以看出，基准孔的大小(越大越好），基准孔的几何公差（越小越好），都会影响到基准偏移DS。

而本案例中的基准偏移敏感度Sensitivity=1, 所以有：

TS = DS = 0.28

公差带飘荡的总量（行程）是0.28，如果公差带在0.28的飘荡行程内，能够有机会把被测要素给全部罩进去，那么被测要素就是合格的。

如何根据TS=0.28来判断来判断被测要素能否被全部罩进去呢？这是一个比较复杂的问题，有点辣眼睛。我们下期文章讨论。

但是有一点是可以肯定的，处理这个0.28，并非把允许的位置度在0.3的基础上加上0.28，变成0.58（像处理包容之爱一样的处理方式）。再次强调，这种处理方法是错误的。

或者把基准不带M圈时的实测位置度，再减去0.28，减去后的结果最后去和0.3去做比较，这也是一种错误的处理方法。比如，基准不带M圈时的实测位置度为0.48，我们算出来DS=0.28, 然后用0.48-0.28=0.2， 认为0.2就是实测位置度，去和图纸上的0.3比较，认为它是合格的，这样的处理也是不对的。

因为篇幅太长的原因，本期文章就到这里，我们下期文章再来探讨如何处理0.28的话题。

本期文章小结

本期文章的第一个章节花了了大量篇幅阐述迁就之爱产生的来源和局限性，并提出针对局限性的筛选办法，即需要额外测量一下被测要素相对于AB的基准系的位置度。第二章讲了如何根据零件基准要素C自身的实际尺寸和实际位置度来判断基准偏移的量，同时提出，在本文的案例中，基准的敏感度Sensitivity为1, 所以DS=TS, 即基准偏移等于公差偏移。然后我们根据几何的关系，再来想办法利用这个TS，看迁就之爱能否使得被测要素合格。

后记：

基准偏移其实是一个比较复杂的话题，我们希望能找到像“包容之爱”（被测要素加M圈）那样简洁的补偿关系，只要计算出Bonus, 我们就可以利用它来计算被测要素是否合格。而基准偏移，带来的是迁就之爱，这个破玩意儿是有维度的，可能多少个维度？6个，三个平移，三个旋转。这就让事情变得复杂起来，首先我们需要判定的是能偏移的基准能够再哪些维度上对被测要素进行纵容（补偿），我们还要判定不争气的被测要素在哪个维度上出格（超差）了，然后再合计合计补偿和超差的关系，看看被测要素能否合格。而这个“合计”的过程还是一个求最优解的过程，得迭代逼近，还得考虑基准偏移的敏感度等因素。

我们发现，当顺着原始标准给出的逻辑和规则往下推演的时候，就像在理一团乱七八糟的毛线团，希望把这团毛线给理顺，展开。心想，它一定就是长长的一根毛线，结果悲剧的发现，这毛线团的毛线是分岔的，分好几个岔，然后再分岔，再分岔，还搅在一起。。。

这可能就是很少有文献对标准中基准偏移的游戏规则给出更具体解释的原因。

事实上，很多测量软件都支持基准采用最大实体要求，作为测量工程师，如果实在不了解后边复杂的关系，其实也不太会影响工作，让软件帮我们处理吧（当然，面对刁蛮的客户例外）。

但是，作为设计工程师或者GD&T的发烧友，是有必要研究基准偏移的。研究它的最大价值在于，除了帮我们理顺GD&T背后的基础逻辑外，我们也顺便还可以理顺装配关系带来的误差。

比如说前面提到的基准偏移敏感度Sensitivity, 理解它的特点，能够帮助设计工程师们在结构设计之初，能够制定出更合理的定位策略。

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