又见阿氏圆——适合作椭圆大题的小题

如下图：过椭圆内一点作的直线交椭圆于两点．是椭圆上相异的两点，满足分别平分,，求外接圆半径的最小值.

解：作的外角角平分线与的延长线交于，的外角平分线与的延长线交于，根据内外角平分线定理（调和点列、交比）等有关性质，可得

故两点重合，记为.进一步根据内角平分线的性质可知：

从而四点共圆且是以为直径的圆（此圆又称为为阿波罗尼斯圆）.根据调和点列有关的性质（极点，极线有关的结论）当绕着转动时，点将在直线上动.并且这条直线为相对于椭圆的极线，设的坐标为,根据换半边的想法得的轨迹方程为：

经计算机演示如下：

现给予代数证明：设,,,,,由,得：

由得：

而点在椭圆上：

根据整体运算，容易得到：

化简得;

由为直径，故,而的最小值即为

从而

关于调和点列、极点、极线、阿氏圆、内外角平分线定理在竞赛中是作为基本模型和结论进行研究，在小题中以这种隐晦背景作为结论进行研究，实在不是一个好题，并且绝大多数同学不了解，如果把(2,1)这个点改特殊一点，相信不少同学可以通过特殊情况进行求解.如果改成大题，进行合理的铺垫，将题目中条件改变，改成与隐性轨迹有关的几何最值问题，也算是一个比较好的题勒.