统计学漫谈（3）——概率该如何理解？

说明：

• 概率论通常是已知概率分布，去研究分布的的各种性质（比如分布的期望（即通常所说的均值）怎么算、方差怎么算，均值符从什么分布等）
• 数理统计则恰好相反，它要解决的问题知道从某个总体分布中抽取出的数据，要去推断分布及其相关参数
• 无论但无论概率论和数理统计其实都非常关注概率的定义及在现实中含义

概率在各种场景下都有广泛应用

1.先看四个问题

• 扔一枚均匀硬币出现正面的概率是50%，这个概率是怎么计算出来的？
• 天气预报说明天下雨的概率是50%，这个是怎么算出来的？
• 某人说他感觉明显下雨的可能性是70%，这个是怎么估计出来的？
• 在国内新冠病毒的死亡率是4%左右，因此推断出新冠患者的平均死亡概率是4%，这个怎么理解？

暂时不对这个四个问题给答案，看完后续的内容大家应该能找到答案。

2.概率的实际含义

• 频率估计概率：扔均匀硬币、掷骰子这种实验是可以重复的，而且可以比较方便的将每次实验控制的条件基本相同，这样我们很方便的计算出投了10000次硬币，出现正面的次数大概在4999次，由此计算出扔均匀硬币的频率约为50%，我们认为这就是扔均匀硬币的概率，这里面实际上是隐含着一种参数估计的思想。以下是历史上若干有名的概率统计牛人扔硬币的实验结果

历史上若干有名的概率统计牛人扔硬币的实验的结果

• 古典概型：以上实验有一个有一个特征：实验可以在同等条件下重复、实验基本结果是有限的、任意基础实验结果的出现等可能的，这种概率模型也称之为古典概型
• 几何概型：实际还有一种在同等条件下重复、基本实验结果无限、任意基础实验结果的出现等可能的。比如，一根长3米的绳子拉直后在任意位置剪断（只减一次），减下的两段不小于1米的概率有多大。大家很容易算出概率是1/3。如下图所示

几何概型最初的运用上并没有碰到什么问题。1899年，法国学者贝特朗针对“几何概型”了一个悖论：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？”。这里针对等可能性会有三种不同的解释，因此会得出三种不同的概率，分别未1/3。这个悖论的提出为后续柯尔莫哥洛夫建立概率论公理化体系起了一定的推动作用

以上对概率的理解更多是对频率学派对概率的理解

• 主观概率或者叫个人概率：指的是一个事件的个人概率是0到1之间的数字，代表的是个人对于该事件发生几率的判断。这种概率的有点很明显：就是不限于“重复发生的事情”。但缺点也很明显，就是不客观。但主观概率在贝叶斯学派和日常生活中应用广泛。

3.概率的数学定义

此处给出的概率论公理化体系是俄国数学家柯尔莫哥洛夫在1933年提出的理论。在柯氏之前其实有若干大牛数学家做过类似的工作，但只有柯氏的定义流传了下来。主要是柯氏的定义简洁明了，非常适用。在柯氏概率论公理化体系的基础上可以推导出整个概率论的体系。

4.在现实中概率意味着什么？

根据柯氏的定义我们要应用概率必须先确定当前问题的抽象事件空间。天气预报员宣布明天下雨的概率是50%时，他使用的抽象事件集合是什么呢？如果是每一个明天出门的人组成的集合。那么50%的人可能会淋雨（不考虑带伞）。如果是每一时刻的集合，那么人们在50%的时间里面会淋雨。如果是某个地区每一平方米土地的集合。那50%的土地会淋雨。当然，它不可能是这些集合，那么，这个集合到底是什么呢？ 尽管对这个问题有若干研究，但并没有形成定论。