数学---概率

一，概率的定义，

     它是反映随机事件出现的可能性大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。

      例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示。

二 ，概率的概型，

      概率的概型分为古典概型 和几何概型；

（一）古典概型：

     一种概率模型.在这个模型下,随机实验所有可能的结果是有限的,并且每个基本结果发生的概率是相同的.例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币）,只可能出现正面或反面,由于硬币的对称性,总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验,可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验,也属于这个模型.是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则,也首先是在这种模型下得到的.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.
古典概型特点：
1、实验的样本空间只包括有限个元素；
2、 实验中每个基本事件发生的可能性相同；

具有以上两个特点的实验是大量存在的,这种实验叫等可能概型,也叫古典概型.
求古典概型的概率的基本步骤：
（1）算出所有基本事件的个数n；

（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；

（3）代入公式P(A)=m/n,求出P（A）.
（二）几何概型；

    概率模型的转换：
古典概率模型是在封闭系统内的模型,一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定,其他事件概率也会跟着发生改变.概率模型会由古典概型转变为几何概型.
简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
比如：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
几何概型与古典概型相对,将等可能事件的概念从有限向无限的延伸.这个概念在我国初中数学中就开始介绍了.
古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个.
几何概型的特点有下面两个：
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
设在空间上有一区域G,又区域g包含在区域G内（如图）,而区域G与g都是可以度量的（可求面积）,现随机地向G内投掷一点M,假设点M必落在G中,且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.关于几何概型的随机事件“
向区域G中任意投掷一个点M,点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比,即
P=g的测度/G的测度

几何概型求事件A的概率公式：
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为：
P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/
实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

这里要指出:D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等。

   古典概型和几何概型什么区别？

1、古典概型的基本事件都是有限的，概率为事件所包含的基本事件除以总基本事件个数。

2、几何概型的基本事件通常不可计数，只能通过一定的测度，像长度，面积，体积的的比值来表

三，事件的分类；

不可能事件、必然事件与随机事件

1、必然事件：

在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件。

必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定为必然事件。

2、不可能事件：

在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件。

人们通常用0来表示不可能事件发生的可能性。即：不可能事件的概率为0。但概率为0的事件不一定为不可能事件。

3、确定事件：

必然事件和不可能事件统称为相对条件S的确定事件，简称确定事件。

4、随机事件：

随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。

这是概率理论中的四个概念，在实际生活中，一件事情发生的概率有这四种。

各类事件举例

1、必然事件：春天过后就是夏天。太阳每天从东方升起，抛起一枚正方形骰子,得到的点数不会小于1，地球绕太阳转，月球绕地球转

2、不可能事件：太阳会从西边升起。软木塞沉到水底

3、确定事件：三角形是由3条边构成的。

4、随机事件：抛掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上。

                       过马路时恰好遇到红灯， 明天会下雨.

四，和事件与积事件

（一）和事件的定义；

和事件：在数理统计及概率论中，将A与B的和事件定义为：若A事件发生或B事件发生时，某事件就发生，则称该事件为事件A与事件B的和事件，记作A和B。

（二）积事件的定义；

积事件（Product events），指若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）。记为A∩B或AB。

将A∩B或AB称为的积事件,它表示“事件A与B同时发生”这一事件.

（三）和事件与积事件区别为：

和事件相当于并集的概率。只需其中之一发生，就算发生了。积事件相当于交集的概率。必须要全部都发生，才计算概率。

不同的，条件概率是知道一件事发生了，另一个发生的概率，有个先后顺序。积事件是两件事同时发生的概率，没有先后顺序。

生活中有哪些和事件和积事件

和事件：乘坐公交车去某个地方有多种乘车方式 ，

             吃米饭还是面食 煮饭用热水还是凉水等等。

交事件：A地到B地先乘1路公交车（换乘时可以换2、3、4路公交车）。

            黄瓜切成片还是块或是丝 加盐还是糖 交事件就是做事分步骤。

            比如设事件A{某班男生}， 事件B{这班的班干部} 那么A和B的交（积）事件就是 {这班的男生班干部}

就拿做公交车举例： 当你（在A地）去B地时，你可以坐1路车或2路车，这个是一个步骤就可以完成的 但是，如果你（在A地）要去C地，而且没有直到公交车（假设你需要先到B地再到C地，B到C只有3路（不管有多少条线路）公交车可以到达，那么从B到C也是并事件）然而，从A到C是交事件 交事件最明显的特征就是分步骤完成。从A先到B再从B到C才能完成A到C的目的。

五，条件概率；

（一）条件概率定义；

    条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。

（二）样本空间的定义；

    一个试验的所有可能结果的集合称为样本空间。所有可能的结果的集。

（三）样本点的定义

样本空间定义：随机实验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记为S={e}。我们称S中的元素e为样本点。

举个例子。有一群鱼。我想研究它们的存活率。然后把它们全部捞起来，死鱼就写“死亡”，活鱼就写“存活”

那么总体就是{死亡，死亡，死亡，死亡,存活,死亡，死亡.......}

样本空间，根据定义，所有可能的结果的集。鱼就两个结果：死亡，存活。

那么样本空间就是{死亡，存活}。

（四）事件相互独立

两个事件相互独立什么意思

两个事件相互独立就是指一个事件发生，不会影响另一个事件的发生或不发生，两个事件是相互独立的，不会互相影响。也指两个事件没有相关性，相关系数为0。

事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。说明：1、独立性意味着两个随机事件发生与否相互间没有影响；

    2、事件A与事件B独立和事件A与事件B互斥是完全不同的两个概念，互斥意味着事件A发生则事件B就不发生，两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。

    3、一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与,与B,都是相互独立的；

    4、若事件A1,A2,…,An是否发生，相互之间没有影响，那么称A1,A2,…,An相互独立。

相互独立事件同时发生的概率

1、积事件的定义：相互独立事件A与B同时发生，记作A·B。

2、两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P(A·B)=P(A)·P(B)。

举例；

    两两独立意味着任意两个事件之间，一个发生与否对另一个没影响。

而相互独立意味着其中任意数量的事件之间，某一些发生对另一个没影响。

举个例子，我有一个硬币，我第一次抛是正反面对我第二次抛以及后面的结果没影响，我前两次抛是正反面对我第三次以及后面的结果都没影响，那么我每次抛硬币这个事情，他就即是两两独立又是相互独立的。

（五）互斥事件

“事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。”

（六）互斥事件和独立事件区别

1.

概念公式不同:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也叫互不相容事件。也可叙述为:不可能同时发生的事件。如A∩B为不可能事件(A∩B=Φ),那么称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发...

2.

针对角度不同:互斥事件是针对能不能同时发生,即两个互斥事件是指两者不可能同时发生。独立事件是针对有没有影响,即两个相互独立事件是指一个事件发生对另一个事件发生的概率没有影响(注意:不是一个事件发生对另一个事件发生没有影响...

3.

试验的次数不同:互斥事件是一次试验下出现的不同事件。独立事件是两次或多次不同试验下出现的不同事件。

互斥事件与对立事件的区别

对立必然互斥，互斥不一定会对立。

比如有红、黄、蓝三个球，一个人去选，只能选一个的话，选红和选黄和选蓝三个事件互斥，不会同时发生，但不是对立的。因为不是选红的话还可以选蓝或选黄。

而当只有红、黄两个球时，一个人去选，只能选一个的话，选红和选蓝两个事件对立。因为不是选红就是选蓝。

和事件，两者至少有一个发生，互斥事件，两者不能同时发生，积事件，两者可同时发生。

和事件就是并集AUB；积事件就是交集AB；互斥事件AB=空集；对立事件就是A不发生，

A上面一个横杠表示，独立事件就是两个事件互不影响；完全事件是两两不相容且并为必然事件的有穷或无穷个事件的集合。