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随机事件的概率及计算 随机事件的概率、古典概型、几何概型及随机模拟
二. 课标要求： 1、在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别； 2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式； 3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 4、了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义； 5、通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
三、命题走向 本讲内容在高考中所占比重不大，纵观近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性。纵观近几年的高考对概率要求降低，几何概型是新加内容，考试涉及的可能性较大。 预测高考： 对概率考查的重点以互斥事件、古典概型、几何概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。
四、教学过程 （一）基本知识要点回顾 1、随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 （1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； （2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； （3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2、随机事件的概率 事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 3、事件间的关系 （1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件； （2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件； 4、事件间的运算 （1）并事件（和事件） 若某事件的发生是事件A或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。 注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式： P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）；且有P（A+ （2）交事件（积事件） 若某事件的发生是事件A和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。 5、古典概型 （1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）古典概型的概率计算公式：P（A）= 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是 6、随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 7、随机数的产生方法 （1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数； （2）在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数。 8、几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 9、几何概型的概率公式： P（A）= 10、几种常见的几何概型 （1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为： P=l的长度/L的长度 （2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域G的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积 （3）设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点。若落在区域v上的点数与区域V的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=v的体积/V的体积
【典型例题】 例1、判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a＞b，那么a－b＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水分，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”． 解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。 点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以区分。
例2、（1）如果某种彩票中奖的概率为 解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。 点评：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。 （2）在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。 解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。 点评：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
例3、某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：（求其发芽的概率）
解：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动。故此种子发芽的概率为0.9。 点评：我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率。
例4、（1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ） （A）至多有一次中靶 （B）两次都中靶 （C）两次都不中靶 （D）只有一次中靶 答案：C。 点评：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。 （2）把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（ ） A、互斥但非对立事件 B、对立事件 C、相互独立事件 D、以上都不对 答案：A。 点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。
例5、从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件， 则A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]， 事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）= 点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例6、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品： （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。 分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样。 解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x，y，z）记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P（A）= （2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x，y，z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336， 所以P（B）= 点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误。
例7、掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率。 错解：掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2，3，4，…，12}，故共有11种基本事件，所以概率为P= 剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数之和为2只有（1，1），而点数之和为6有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P= 点评：我们经常见的题里还有“投掷两枚硬币的结果”，划分基本事件“两正、一正一反、两反”，其中“一正一反”与“两正”、“两反”的机会是不均等的。
例8、一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。 分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件。注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应，若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上。由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的。 解：P（T）=3/5。 点评：本题是典型的几何概型.
例9、（意大利馅饼问题）山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶，该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时，可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将赢得： （a）一张大馅饼， （b）一张中馅饼， （c）一张小馅饼， （d）没得到馅饼的概率 解：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。下图表明R和子区域r1、r2、r3和r4，它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。
例10、假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？
解：以两班车出发间隔（0，10）区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是10的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。 要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点， p=
例11、（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。 解：由于取水样的随机性，所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。 （2）如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少? 解：由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即等于40/50000=0.0008。
例12、随机地向半圆 解：半圆域如图
设 由几何概率的定义 ［思维小结］ 本讲概念性强、抽象性强、思维方法独特。因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的练习，恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维合理的定势。 1、使用公式P（A）= 复习这部分内容及解答此类问题首先必须明确判断两点：（1）对于每个随机实验来说，所有可能出现的实验结果数n必须是有限个；（2）出现的所有不同的实验结果数m其可能性大小必须是相同的。只有在同时满足（1）、（2）的条件下，运用的古典概型计算公式P（A）=m/n得出的结果才是正确的。 2、对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解： 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系； 第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的； 第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。 3、对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作 事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生。当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的。 当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件 对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。 分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。 4、在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节。 5、几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考查内容之一； 6、有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。本讲将着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题； 7、关于几何概型： （1）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”； （2）几何概型并不限于向平面（或直线、空间）投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。
【模拟试题】 一、选择题 1、下列叙述错误的是（ ） A、频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B、若随机事件 C、互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 D、 2、从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A、 3、有五条线段长度分别为 A、 4、从 A、 C、 5、某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为 A、 6、从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于 A、 7、（07重庆理）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 A、
二、填空题 1、有一种电子产品，它可以正常使用的概率为 2、一个三位数字的密码键，每位上的数字都在 3、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是_________。 4、从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是_________。 5、在
三、解答题 1、从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求： （1）甲被选中的概率 （2）丁没被选中的概率 2、现有一批产品共有 （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续 （2）如果从中一次取 3、某路公共汽车 4、一个路口的红绿灯，红灯的时间为 （1） 红灯 （2） 黄灯 （3） 不是红灯 5、投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。
【试题答案】 一、选择题 1、A 频率会稳定在某个常数上，这个常数叫做概率， 2、B 3、B 能构成三角形的边长为 4、D 至少有一件正品 5 6、C 7、C
二、填空题 1、 2、 3、 4、 5、
三、解答题 1、解：（1）记甲被选中为事件 （2）记丁被选中为事件 2、解：（1）有放回地抽取 （2）可以看作不放回抽样 3、解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的。设上一班车离站时刻为 4、解：总的时间长度为 （1）出现红灯的概率 （2）出现黄灯的概率 （3）不是红灯的概率 5、分析与解答：可以把此引例中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。 解：P（A）=（1/2）2/12=1/4。 |
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=0.512
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= 0.3 
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