高三复习专题：事件与概率、古典概型、几何概型

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

高三复习专题：事件与概率、古典概型、几何概型

 

二. 考纲要求

1、事件与概率

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式、知道对立事件概率之和为1的结论。会用相关公式进行简单概率计算。

2、古典概型

（1）理解古典概型及其概率计算公式。

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

3、随机数与几何概型

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

（2）了解几何概型的意义．

 

三. 知识分析

【知识梳理】

1、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象．

2、对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件。

3、在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件．

在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。

4、概率的统计定义：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作．

5、概率的基本性质：随机事件A的概率满足0≤≤1，其中当A是必然事件时，= 1；当A是不可能事件时，= 0。

6、不能同时发生的两个事件称为互斥事件。

7、一般地，如果事件A₁，A₂，…，A _n中的任何两个都是互斥事件，就说事件A₁，A₂，…，A _n两两互斥。

8、如果事件A，B互斥，那么事件A∪B发生的概率等于事件A，B概率的和，即；

    一般地，如果事件A₁，A₂，…，A _n两两互斥，则。

9、两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为互为对立事件。事件A的对立事件记作，则有.

10、古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是：

（1）有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．

11、对于古典概型，任何随机事件A的概率为：

12、对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会均等；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是长度、面积或体积等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．

13、一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率，其中表示区域D的几何度量，表示区域A的几何度量。

     

【要点解析】

1、频率与概率有本质的区别，不可混为一谈，频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近．只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．

2、任何事件的概率是0到1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率（接近0）事件很少发生，而大概率（接近1）事件则经常发生．但是，概率是用来度量随机事件发生的可能性大小的一个量，而实际结果是指事件A发生或不发生，因此实际结果与计算出的结果并不一定相同．

3、对互斥事件的理解，可以从集合的角度去加以认识：

如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集为空集．

4、要注意互斥事件与对立事件的区别与联系

    互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况或而互斥事件未必是对立事件．

5、应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和。求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解。

6、一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．

    例如：抛掷两枚质地均匀的硬币，一共出现四个等可能的结果，即：正正、正反、反正、反反．每一种结果出现的可能性都是，其基本事件只有4个，为可数的，故为古典概型．而不能把“一正一反”看作一个基本事件（因为这一事件包括“正反”、“反正”两种结果），否则基本事件就不等可能了，相应的该试验所对应的概率就不再是古典概型了．

7、求古典概型的概率的基本步骤为：

（1）算出所有基本事件的个数n;

（2）求出事件A包含的所有基本事件数m;

（3）代入公式，求出P（A）．

8、用集合的观点考察事件A的概率，有助于理解事件A与基本事件的关系，

有利于理解公式。如图所示，把一次试验中所有可能出现的结果组成集合I，其中每一个结果就是I中的一个元素，把事件A包含的所有基本事件组成A，则集合A是集合I的一个子集，则有。

9、几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．

10、几何概型具有无限性和等可能性两特点。无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形长度（面积或体积）”与“试验的基本事件所占总长度（面积或体积）”之比来表示． 

 

【典型例题】

例1. 一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．

    （1）“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？

    （2）“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？

    （3）“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？

解析：（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0。

    （2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率为。

    （3）由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑（白）球，就是白（黑）球，因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1。

点评：解决这类问题的方法是弄清每次试验的意义及每个基本事件的含义，正确把握各个事件的相互关系．

    判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要是依据在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现，或可能出现、可能不出现，它们的概率（范围）分别为1，0，（0，1）。

 

  例2. 从分别写有0，1，2，3，4，5的六张卡片中，任取三张，并组成三位数，计算：

    （1）这个三位数是偶数的概率；

    （2）这个三位数能被3整除的概率；

    （3）这个三位数比340小的概率．

解析：（1）分别记“个位是0，2，4的三位数”为事件，，它们的概率：

因为事件彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，三位数是偶数的概率是

（2）分别记“由1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5；0，2，4；0，1，5；0，1，2；0，4，5排成的三位数”为事件，，它们的概率：

，

。

因为事件彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，三位数能被3整除的概率是

（3）分别记“百位上的数是1，2，3的符合条件的三位数”为事件，它们的概率是。

因为事件彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，三位数比340小的概率是：

。

点评：运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，但应注意考虑周全，不重不漏。

 

例3. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．

    （1）摸出2个或3个白球；

（2）至少摸出1个黑球．

解析：（1）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，

则。

、B为互斥事件，

，即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为。

（2）方法一：摸出1个黑球的概率，摸出2个黑球的概率，摸出3个黑球的概率，所以所求概率

。

方法二：设“至少摸出1个黑球”的对立事件“摸出的4个球全是白球”为事件C，则，故所求概率。

 

例4. 判断下列命题正确与否．

   （1）掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3种结果；

    （2）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；

    （3）从－4,－3,－2,－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；

    （4）分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同；

    （5）5个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．

解析：所有命题均不正确．

（1）应为4种结果，还有一种是“一反一正”；

（2）摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为；

（3）取到小于0的数字的概率为，不小于0的数字的概率为；

（4）男同学当选的概率为，女同学当选的概率为；

（5）抽签有先有后，但每人抽到某号的概率是相同的．

其理由是：假设5号签为中奖签，甲先抽到中奖签的概率为；乙接着抽，其抽中5号签的概率为，以此类推，丙抽中5号签的概率为。

 

例5. 从含有两件正品、和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解析：方法一：每次取一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₂，a₁），（a₂，b₁），（b₁，a₁），（b_l，a₂），其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．一切可能的结果由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则事件A由（a₁，b₁），（a₂，b₁），（b₁，a₁），（b_l，a₂），这4个基本事件组成，因而。

    方法二：设事件A：取出的两件产品中恰好有一件次品，

    则

 

例6. 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？

分析：包含两个间谍谈话录音的部分在30 s到40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40s之间即0到min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．

解析：记A=｛按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉｝，A的发生就是在0到min时间段内按错键，

 

例7. 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

分析：甲、乙两人中，每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标（x，y）就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．而能会面的时间由所对应的图中阴影部分表示，由于每人到达的时间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能被取到的（即基本事件等可能发生）．所以两人会面的概率只与阴影部分的面积有关，这就转化为面积型几何概型问题．

解析：以x轴和y轴分别表达甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是，

在如图所示平面直角坐标系下，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示。由几何概型的概率公式得：

所以，两人能会面的概率是。

 

  例8. 如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．

解析：在AB上取AC，连结CC’，则

。

设A={在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，}，

则，

 

【模拟试题】

  1. 一个口袋内有9张大小相同的卡片，其号数为1，2，3，…，9。从中任取两张，其号数至少有一个为偶数的概率为（    ）

A.                    B.                     C.                   D.

  2. 若书架上有中文书5本，英文书3本，日文书2本，则随机抽取一本恰为外文书的概率为（    ）

A.                    B.                   C.                    D.

  3. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品（甲级）的概率为（    ）

A. 0.95                 B. 0.97                  C. 0.92                  D. 0.08

  4. 盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别。现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为，第10个人摸出黑球的概率是，则（    ）

A.       B.         C.             D.

  5. 有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是（    ）

A.                    B.                     C.                    D.

  6. 袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（    ）

A.                  B.                     C.                    D.

  7. 如图，在一个边长为的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为，高为b。向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为（    ）

A.                   B.                     C.                   D.

  8. 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这正方形的面积介于之间的概率为（    ）

A.                    B.                     C.                  D.

  9. 在面积为S的的边AB上任取一点P，则的面积大于的概率是（   ）

A.                    B.                     C.                    D.

  10. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________。

  11. 第1小组有足球票2张、篮球票1张，第2小组有足球票1张、篮球票2张。甲从第1小组3张票中任取一张，乙从第2小组3张票中任取一张，两人都抽到足球票的概率为________。

  12. 如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，点落在正方形内的概率为___________。

  13. 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：

血型	A	B	AB	O
该血型的人所占比例（%）	28	29	8	35

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同种血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：

（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

  14. 袋里装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n的球重（克）。这些球以等可能性（不受重量、号码的影响）从袋里取出。

（1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；

（2）如果同时任意取出2球，试求它们重量相等的概率。

  15. 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

  16. 设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率。

【试题答案】

1、D  2、 D  3、 C  4、 D  5、 A  6、B   7、C   8、A   9、C 

10、0.30      11、       12、

13、（1）  0.64    （2）  0.36      14、（1）      （2）