高中数学：随机变量、离散型随机变量的概念以及概率分布列的求解

一、基本概念

定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable）。随机变量常用字母 X，Y，，，… 表示。

定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量（discrete random variable）。

定义3：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量。如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值。

若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）。

 

二、离散型随机变量的分布列

1、分布列：设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，

X取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则列表

X	x1	x2	…	xi	…
P	P1	P2	…	Pi	…

为随机变量X的概率分布，简称X的分布列。

2、分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

（1）Pi≥0，i＝1，2，…；

（2）P1+P2+…=1．

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，即

3、两点分布列:

X	0	1
P

像上面这样的分布列称为两点分布列。两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称=P (X = 1）为成功概率。

4、超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为

,

其中，且．称分布列

X	0	1	…
P			…

为超几何分布列。如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布。

三、随机变量的概念和意义的运用

例1、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。

（1）一袋中装有5个同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5。现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X；

（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η。

解：（1）X可取3，4，5。

X=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；

X=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；

X=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5。

（2）η可取0，1，…,n，…。

η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…。

 

四、离散型随机变量的分布列的简单运用

例2、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：

（1）取到的次品数X的分布列；

（2）至少取到1件次品的概率。

分析：分布列的求解问题的解题步骤如下：

（1）首先确定变量的取值情况xi。

（2）结合概率的知识来表示各个取值的概率P(=xi)=Pi，这一步是关键。

（3）列出表格的形式，并验证概率和是否为1。

首先分析取到次品数的情况有0，1，2，3四种情况，然后转化为求各种情况下概率的问题，结合组合数公式准确表示出概率值，然后列为表格形式即可。

解：（1）由于从100件产品中任取3件的结果数为，从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为，那么从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的概率为。

所以随机变量X的分布列是

X	0	1	2	3
P

（2）根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率

P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )

≈0.13806 + 0.00588 + 0.00006

= 0. 14400。

例3、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半。现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列。

分析：欲写出X的分布列，要先求出X的所有取值，以及X取每一个值时的概率．在写出X的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1。

解：设黄球的个数为n，由题意知

绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总球数为7n．

∴，，．

所以从该盒中随机取出一球所得分数X的分布列为

X	1	0	－1
P

例4、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．

分析：理解超几何分布列的概念，并能结合分布列中n=k的公式来计算各个概率值。

首先分析题意，我们得到摸出红球的个数服从超几何分布，然后结合公式进行计算。

解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中 N = 30 , M=10, n=5．于是中奖的概率

P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）+P ( X = 5 )

=≈0.191。

例5、某射手射击所得的环数X的分布列如下：

X	4	5	6	7	8	9	10
P	0.02	0.04	0.06	0.09	0.28	0.29	0.22

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．

分析：研究离散型随机变量在某范围内的概率，就是把该范围内各个概率值求和。“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“X＝7”、“X＝8”、“X＝9”、“X＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．

解：根据射手射击所得的环数X的分布列，有

P(X=7)＝0.09，P(X=8)＝0.28，P(X=9)＝0.29，P(X=10)＝0.22。

所求的概率为P(X≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88

 

例6、在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：不放回抽样时，抽到次品数的分布列。

分析：求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率。随机变量可以取0，1，2，可以取0，1，2，3，有放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析。

解：，，

，

所以的分布列为

	0	1	2
P