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高中数学:三类易错的排列、概率问题

 悟道谈风水 2019-12-13
一、交点:圆内还是圆外
例1. 圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是_____________。

错解:因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定条直线,从剩下10个点中任取2个可确定条直线,根据乘法原理,有个交点。这里错误的原因在于这些直线所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内。
正解:因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个。而要得到一个四边形,需要从12个点中取出4个点,个,即有个交点。
问题:若“圆内”改成“圆外”,其他不变,则交点个数是多少?(答案:
 
二、相邻不相邻问题:不重不漏
例2. 8人排成一队,A、B、C三人互不相邻,D、E两人也互不相邻的排法共有多少种?
错解:第一步:把除A、B、C、D、E的剩余F、G、H3人全排列,有种方法;第二步:前3人排好后,留下4个空档,把A、B、C三人插入,有种方法;第三步:前6人排好后,留下7个空档,把D、E两人插入空档,有种方法。由乘法原理,有种方法。
则题意,“ADB”排法也满足题意,但按照以上排法,A、B之间早就有F或G或H了,而不可能出现“ADB”,违反“不重不漏”中的“不漏”原则。
正解:用排除法。除A、B、C外的5人先全排列,有种方法,这时在留下的6个空档中插入A、B、C三人,有种插空方法,共有种方法;其中应排除D、E两人相邻的情形,把D、E(运用“捆绑法”看作一个个体),F、G、H(F、G、H为余下的三人)全排列,有种方法,这时在留下的5个空档中插入A、B、C三人,有种方法,DE也可交换成ED,共有种方法。所求排法有=14400-2880=11520种。
例3. 有20个零件,其中16个是一等品,4个二等品。若从20个零件中任取3个,那么至少有1个是一等品的概率是_____________。
A. 
B. 
C. 
D. 以上都错
错解:选项A中表示只取1个一等品,而题目要求取一等品1个、或2个、或3个,有三种情形;C中表示只取2个一等品,表示只取3个一等品,即只取2个或3个一等品,与题目不符。
B中表示从16个一等品中先取1个一等品,表示再从剩下的19个零件中取2个,这时似乎能保证所取的3个零件中至少有1个是一等品。若设1、2、…、16表示16个一等品,A、B、C、D表示4个二等品,可能出现1、2、A形式(先取一等品1,再从剩下的19个零件中取2、A),也可能出现2、1、A形式(先取一等品2,再从剩下的19个零件中取1、A),违反“不重不漏”中的“不重”原则。
正解:在选项A的基础上增加先从16个一等品中取2个,再从4个二等品取1个,和从16个一等品中取3个,有种取法,答案应为,选D。也可以运用排除法,“至少有1个是一等品”的反面是“没有一个一等品”,即3个都是二等品,有,答案为,选D。
 
三、抽取问题:放回与不放回
例4. 从一批含有13只正品、2只次品的产品中,不放回地抽取3次,设抽得的次品数为,求E(5+1)。
错解一:随机变量服从二项分布B(n,p),这里独立重复试验的次数n=3,在一次试验中事件(次品)发生的概率,得
分析:若变量是离散型随机变量,才服从二项分布,才会有公式E()=np,那么怎么样的变量才是离散型的呢?对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,像这样的随机变量叫做离散型随机变量。若在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数则是一个随机变量。如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率p(=k),其中k=0;1,…,n,,称这样的随机变量服从二项分布,记作~B(n,p)。上面式子,形式上为二项式定理中的第,所以称服从二项分布。
由上可以看出,二项分布的必要条件是随机变量必须是独立的,而本题中变量与前后有关系,是不独立的,所以题中的变量不服从二项分布,不能用E()=np来算。
错解二:因为不放回地取,先组合再排列,所以
分析:对于=1这种情形,表示从13只正品中取一只正品后(不放回),再接着从剩下的12只正品中取一只正品(不放回)。表示从2只次品取1只次品。这时,对这3只产品作全排列,得。其实,13只正品被抽取的机会是均等的,取得的2只正品前后没有关系,应视作一种情形,只要看1只次品所取的位置,所以,同理
问题:若原题中“不放回”改为“放回”,其他不变,求
分析:对于这种情形,表示从13只正品中取一只正品(放回),再接着从13只正品中取一只正品(放回)。表示从2只次品中取1只次品。这时再考虑次品所取的位置,共有×3种取法,所以。同理:
 
四、倒球、颜色相同与不同
例5. 从装有4粒大小、形状相同、颜色不同的玻璃球的瓶中,随意倒出若干粒玻璃球(至少一粒),设倒出奇数粒玻璃球的概率为a,设倒出偶数粒玻璃球的概率为b,比较a与b大小关系。
错解:因为倒出球的个数为1、2、3、4,恰好是两个奇数两个偶数,所以a=b。
分析:题中为什么要注出“颜色不同”?同样是倒出一粒球,若颜色不同,则应视作是不同的情形。
记倒出的玻璃球的个数为n,则当n=1时,种情形;当n=2时,有种情形;当n=3时,种情形;当n=4时,有种情形;现总样本数为4+6+4+1=15,所以,得

▍ 来源:综合网络

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