概率与统计
[学习过程]
一、高考要求:
了解:抽样方法 ;总体分布的估计;变量的相关性;统计案例。
理解:总体特征数的估计 ;
了解:随机事件与概率;几何概型;互斥事件及其发生的概率;
理解:古典概型。
二、本章知识结构:
三、基础知识
(一)统计
1. 抽样方法有 简单随机抽样 ; 系统抽样 ; 分层抽样 。
2. 简单随机抽样 抽签法 ; 随机数表法 。
3. 用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤为:
(1)将总体中的所有个体编号(号码可以从1到N);
(2)将1到N这N 个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作);
(3)将号签放在同一箱中,并搅拌均匀;
(4)从箱中每次抽出1个号签,并记录其编号,连续抽取k次;
(5)从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.
4. 用随机数表法抽取样本的步骤是:
(1)对总体中的个体进行编号(每个号码位数一致);
(2)在随机数表中任选一个数作为开始;
(3)从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的数码若不在编号中,则跳过;若在编号中,则取出;如果得到的号码前面已经取出,也跳过;如此继续下去,直到取满为止;
(4)根据选定的号码抽取样本.
5. 将总体平均分成几个部分,然后按照预先定出的规则,从每个部分中抽取一个个体,得到所需的样本,这样的抽样方法称为系统抽样(systemAticsAmpling). 系统抽样, 又叫等距抽样。
6. 系统抽样的步骤为:
(1)采用随机的方式将总体中的个体编号; 系统抽样也可称为“等距抽样”.
(2)将整个的编号按一定的间隔(设为k)分段,当Nn(N为总体中的个体数,n为样本容量)是整数时,k=Nn;当Nn不是整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除,这时k=N′n,并将剩下的总体重新编号;
(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l;
(4)将编号为l,l+k,l+2k,…,l+(n-1)k的个体抽出.
7. 当总体由 差异明显 的几个部分组成时,常常将总体中的 个体 按不同的特点分成比较分明的几部分,然后按各部分在总体中所占的比例实施抽样,这种抽样方法叫分层抽样;其中所分成的各个部分称为“层”.
8. 分层抽样的步骤是:
(1)将总体按一定标准分层;若按比例计算所得的个体数不是整数,可作适当的近似处理.
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比;
(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量;
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).
9. 三种抽样的关
10. 反映总体频率分布的表格称为频率分布表。
11. 将整个取值区间的长度称为 全距,分成的区间的长度称为组距.
12. 直观地体现数据的分布规律的方法———绘制频数条形图或频率直方图. 频率分布直方图
13. 如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,我们称这条折线为本组数据的频率折线图
14. 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势. 如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则这条折线将趋于一条曲线,我们称这一曲线为总体分布的密度曲线
15. 将这些数据有条理地列出来,从中观察得分的分布情况. 这种方法就是画出该运动员得分的茎叶图
16. 1,2,3,4,5,5,4,3,4,5,4,的平均数是 ;众数是 4 ;中位数是 4 。
(二)概率
1. 一般地,如果随机事件A在n次试验中发生了m次,当试验的次数n很大时,我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值,即。.
2. 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件
3. 等可能基本事件的两个特点:
(1)所有的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件的发生都是等可能的.
将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型
4. 概率计算公式:如果一次试验的等可能基本事件共有n个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是. 如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发生的概率为P(A)=。
5. 一年按365天计算,2名同学在同一天过生日的概率为
6. 一只口袋装有形状、大小都相同的6只小球,其中有2只白球、2只红球和2只黄球. 从中一次随机摸出2只球,试求:
(1)2只球都是红球的概率;
(2)2只球同色的概率;
(3)“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍?
解:(1);(2);(3)
(三)几何概型
1. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等. 用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=. 这里要求D的测度不为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.
2. 即事件A与B是不可能同时发生的. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件,如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1,A2,…,An彼此互斥.
3. 设A,B为互斥事件,当事件A,B有一个发生,我们把这个事件记作A+B.
4. 如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).
5. 如果事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
6. 两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件. 事件A的对立事件记为.
【典型例题】
例1. 下列问题中,采用怎样的抽样方法较为合理?
(1)从10台冰箱中抽取3台进行质量检查;
(2)某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号为1~40. 有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,需留下32名听众进行座谈;
(3)某学校有160名教职工,其中教师120名,行政人员16名,后勤人员24名. 为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.
解:(1)抽签 (2)系统抽样 (3)分层抽样
例2. 甲、乙两种冬水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2),试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
解:甲品种的样本平均数为10,样本方差为
,
乙品种的样本平均数也为10,样本方差为
,
因为,
所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。
例3. 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y和房屋的面积x的数据:
(1)画出数据对应的散点图;
(2)①求线性回归方程,②并在散点图中加上回归直线;
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格。
解:(1) 散点图如下
(2)①,
y=0.1982x+1.5926.
②略
(3)y=0.1982x+1.5926=0.1982×150+1.5926=31.323.
答:估计当房屋面积为150m2时的销售价格为31.323万元。
例4. 一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球. (1)共有多少个基本事件?
(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少?
解:(1)共有10个基本事件。
(2)摸出的两只球都是白球的概率是
例5. 将两颗骰子抛掷一次,求:
(1)向上的点数之和是8的概率;
(2)向上的点数之和不小于8的概率;
(3)向上的点数之和不小于10的概率.
解:(1)向上的点数之和是8的概率=;
(2)向上的点数之和不小于8的概率=;
(3)向上的点数之和不小于10的概率=;
例6. 用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:
(1)3个矩形颜色都相同的概率;
(2)3个矩形颜色都不同的概率.
解:(1)3个矩形颜色都相同的概率=;
(2)3个矩形颜色都不同的概率=.
例7. 把一个各面上均有颜色的正方体锯成个同样大小的小正方体,从中任取一块,求下列事件的概率:
(1)三面涂有颜色;
(2)恰有两面涂有颜色;
(3)恰有一面涂有颜色;
(4)至少有一面涂有颜色。
解:(1)三面涂有颜色=;
(2)恰有两面涂有颜色=;
(3)恰有一面涂有颜色=;
(4)至少有一面涂有颜色=1-。
例8. 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环. 从外向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色. 金色靶心叫“黄心”. 奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12. 2cm. 运动员在70m外射箭. 假设射箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?
解:记射中黄心为事件A,则P(A)=
例9. 在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.
解:记AM小于AC为事件A,则P(A)=。
例10. 将长为3的棒随机折成3段,
(1)求3段能构成三角形的概率;
(2)求3段不能构成三角形的概率。
解:设被分成的三段的长为x, y,3-x-y,则
x,y对应的区域是如图所示的三角形。
(1)记3段能构成三角形为事件A,则P(A)=
(2)记3段不能构成三角形为事件B,则P(B)
例11. 某人射击1次,命中7~10环的概率如表
(1)求射击1次,至少命中7环的概率;
(2)求射击1次,命中不足7环的概率.
解:(1)记至少命中7环为事件A,则P(A)=0.12+0.18+0.28+0.32=0.9。
(2)记命中不足7环为事件B,则P(B)=1- P(A)=0.1。
例12. 甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的。如果甲船停泊的时间为4小时,乙船停泊的时间为2小时,求它们中的任意一艘船都不需要等待码头空出的概率。
解:设甲乙两船到达该码头的时刻分别是x,y时刻.则
则x, y满足的可行域为如图所示的阴影部分。
故所求的概率为:
【模拟试题】
1. 一组数据的方差为3,将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍,所得到的一组数据的方差是
2. 采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,个体a前两次未被抽到,第三次被抽到的概率为_____________________
3. 观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图,则新生婴儿体重在(2700,3000)的频率为_ _。
4. 已知样本99,100,101,x,y的平均数是100,方差是2,则xy=____________
5. 某中学高一年级有x个学生,高二年级共有900个学生,高三年级有y个学生,采用分层抽样抽一个容量为370人的样本,高一年级抽取120人,高三年级抽取100人,则全校高中部共有多少学生?
6. 如图,是某单位职工年龄(取正整数)的频数分布图,根据图形提供的信息,回答下列问题(直接写出答案)
注:每组可含最低值,不含最高值
(1)该单位职工共有多少人?
(2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少?
(3)如果42岁的职工有4人,那么年龄在42岁以上的职工有几人?
7. 下面是一个病人4月8日到4月10日的体温记录折线图,回答下列问题:
(1)护士每隔几小时给病人量一次体温?
(2)这个病人的体温最高是多少摄氏度?最低是多少摄氏度?
(3)他在4月8日12时的体温是多少摄氏度?
(4)他的体温在哪段时间里下降得最快?哪段时间里比较稳定?
(5)图中的横虚线表示什么?
(6)从体温看,这个病人的病情是在恶化还是在好转?
8. 一个密码箱的密码由5位数字组成,五个数字都可任意设定为0~9中的任何一个数字,假设某人已经设定了五位密码.
(1)若此人忘了密码的所有数字,求他一次就能把锁打开的概率;
(2)若此人只记得密码的前4个数字,求一次就能把锁打开的概率.
9. 口袋中有形状、大小都相同的1只白球和1只黑球,先摸出1只球,记下颜色后放回口袋,然后再摸出1只球.
(1)一共可能出现多少种不同的结果?
(2)出现“1只白球、1只黑球”的结果有多少种?
(3)出现“1只白球、1只黑球”的概率是多少?
10. 某种产品共100件,其中有一等品28件,二等品65件,一等品与二等品都是正品,其余为次品. 某人买了这些产品中的1件,问:他买到一等品的概率是多少?买到正品的概率是多少?
11. 如图,把一个体积为64cm3的正方体木块表面涂上红漆,然后锯成体积为1cm3的小正方体,从中任取一块,求这一块至少有一面涂有红漆的概率.
12. 100张卡片上分别写有1,2,3,…,100,计算:
(1)任取其中1张,这张卡片上写的数是6的倍数的结果有多少种?
(2)任取其中1张,这张卡片上写的数是6的倍数的概率是多少?
13. 某人睡午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10min的概率.
14. 已知地铁列车每10min一班,在车站停1min. 求乘客到达站台立即乘上车的概率.
15. 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?
16. 如图,在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投镖. 设投镖击中线上或没有投中木板时都不算,可重投,问:(1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?
17. 有五条线段,其长度分别为1,3,5,7,9. 现任取三条,求能构成三角形的概率.
【试题答案】
1. 9 2. 3. 0.3 4. 9996 5. 2220
6. (1)50 (2) (3)15
7. (1)6 (2)39.5;36.8 (3)38
(4)6-12;18-18 (5)正常 (6)好转。
8. (1) (2)
9. (1)4 (2) 2 (3)
10.
11.
12.
13. 14. 15.
16.
17. 解:能构成三角形的有3,5,7;3,7,9;5,7,9。故所求事件的概率为。