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概率论-浙江大学数学系2

 种韭菜的 2011-03-07
第二节 古典概型

 

§古典概型

 

一、样本空间和样本点

 

二、古典概型

 

三、几何概率

 

一、样本空间和样本点

投掷一颗骰子,虽无法预卜其结果如何,但总不外乎是“出现1点”,…,“出现6点”这6个基本的可能结果之一. 不妨把这些试验结果的全体记为{1,2,,6}

随机试验的每一基本结果称为样本点(sample point),常记作ω. 样本点的全体称为样本空间(sample space),常记作Ω. 上述例子中,若记=“出现i点”,那么

样本点和样本空间是概率论中的两个基本概念. 随着对所讨论问题的兴趣不同,同一随机试验可以有不同的样本空间. 讨论问题前必须先取定样本空间.

1  口袋中装有10个球:三个红球三个白球和四个黑球. 任取一球. 样本空间可以取为={取得一个红球,取得一个白球,取得一个黑球} 但若把球编号,红球编为13号,白球和黑球分别为46710号;则每取一球,必定是且只能是这些球号中的一个,故也可取样本空间为,其中=取得第i号球, i=1,2,,10

2  在例1中,如果每次共取两个球, 则每个样本点可以用所取得的两个球号(i, j) 来表示,样本空间可以是

Ω={(1,2), (1,3), ,(1,10), (2,3), ,(2,10), ,(9,10)},

共有=45个样本点; 这是二维的样本空间.

1和例2都是有限样本空间.

3  考察单位时间内落在地球上某一区域的宇宙射线数,这可能是0, 也可能是1, 2, …,很难确定一个上界. 于是可以取样本空间为Ω={0, 1, 2,}, 它包含无限多个样本点,但可按一定的顺序排列起来(称为无限可列个).

4  考察发射一枚炮弹时,落地点与目标之间的距离. 这可能是0到某常数之间的任一实数,可取样本空间为Ω= [0, a], 它是一维连续区间.

  在实际问题中,如何取一个合适的样本空间是一个值得研究的问题. 样本空间取得好,解题就方便得多. 在一般问题中,则往往认为样本空间已经给定,在此基础上展开讨论.

 

二、古典概型

() 模型及定义

古典概型是最简单的随机试验模型,也是很多概率计算的基础,而且有不少实际应用.

古典概型有两个特征:

1 样本空间是有限的, ,其中, i=1, 2, ,n, 是基本事件.

2 各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同.

很多实际问题符合或近似符合这两个条件,可以作为古典概型来看待. 在“等可能性”概念的基础上,很自然地引进如下的古典概率(classical probability)定义.

定义1  设一试验有n个等可能的基本事件,而事件A恰包含其中的m个基本事件,则事件A的概率P(A)定义为

            P(A)=                      (1)

根据这个定义,对上段的例1,如果从袋中取出一球是随机的,那么,“得红球”这一事件发生的概率就是3 /10

在判断所讨论的问题是否属古典概型时. 条件1是容易检验的,条件2有时就难一些. 实际问题中,抛掷均匀硬币,对外形相同的产品质量抽查都属这一类. 当判断确认属于古典概型时,就可用公式(1)来计算概率. 这时常常要用到排列、组合数的计算,我们将有关的基本公式列于本章末尾的补充与注记里.

()古典概率直接计算的例子

5  掷两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率.

取样本空间:{甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反} 这里四个基本事件是等可能发生的,故属古典概型. n=4, m=1, P=1/ 4

6  n个球, N个格子(nN),球与格子都是可以区分的. 每个球落在各格子内的概率相同(设格子足够大,可以容纳任意多个球). 求:(1) 指定的n格各有一球的概率;(2) n格各有一球的概率.

把球编号为1n, n个球的每一种放法是一个样本点,这属于古典概型. 由于一个格子可落入任意多个球,样本点总数应该是N个中取n个的重复排列数

(1) A={指定的n格各有一球},它包含的样本点数是指定的n格中n个球的全排列数n!,故

                                           P(A)=n! /

  (2) B={n格各有一球},它所包含的样本点数是N格中任取n格的选排列数,故

P(B)=/=N! /(Nn)!

7  口袋中a只白球,b只黑球. 随机地一只一只摸,摸后不放回. 求第k次摸时得白球的概率.

解法1  把球编号,按摸的次序把球排成一列,直到(a+b)个球都摸完,每一列作为一个样本点,样本点总数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! 所考察的事件相当于在第k 位放白球,共有a种放法,每种放法又对应其它a+b1个球的(a+b1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为a(a+b1)!,所求概率为

P= a (a+b1)! / (a+b)! = a / (a+b)

解法各球不编号,即所有白球都看成相同,所有黑球也看成相同.  a+b个球仍按摸球的次序排列,但a个同样位置放白球,不论白球间如何交换,只算一种放法,即只作为一个样本点. 这也是古典概型,样本点总数应为 所考察的事件为在第k位放白球,其它各位放a1个白球,共种放法,故

P= /=a / (a+b)

本题两种解法区别在于样本空间不同. 第一种解法把所有球都看成不同的,考虑样本点的总数与所述事件包含的样本点数时都必须计及球的次序,所以都用排列;第二种解法中同色球不加区别,故只须考虑哪几个位置放白球,分子分母都用组合.但这两类解法都是古典概型,都可用(1)式计算概率,只是计算前要取定样本空间,分子分母在同一样本空间内计算.

本题的结果与k无关,即不论第几次,摸得白球的概率都一样,都是白球所占的比例数.这相当于抽签,不论先抽后抽,中签的机会都一样.

8  a件次品,b件正品,外形相同. 从中任取n(na),求={恰好有k件次品}的概率.

  类似例7,可以把a件次品看成不同,也可看成相同,后者解法较为简单. 此时把a+b件产品取n件的任一个组合作为一个样本点,总数为; 事件包含的样本点数为,故

P()=/                                        (2)

本例是产品抽样检查时常用的概率模型.

某人在口袋里放着两盒牙签,每盒n根. 使用时随机取一盒, 并在其中随机取一根.到某次他发现取出的一盒已经用完.问:此时另一盒中恰好有m根牙签的概率是多少?

解法我们来考察前(2n+1m)次抽用的情况.每次抽用时有两种方法(抽出甲盒或乙盒), 故总的不同抽法有种. 所述事件包含的抽法种数可计算如下:先看“最后一次(即第2n+1-m次)是抽出甲盒”的情况.这时在前2nm次抽用中,必须有n次抽到甲盒,这种抽法有种;类似地,“最后一次是抽出乙盒”的抽法也有这么多.所以,所述事件包含的抽法种数为2,从而事件的概率为

2/=/

解法2  因每盒中只有n根,最晚到第2n+1次抽取时必发现抽出的盒子已空. 故不管结果如何,总把试验做到抽完第2n+1次为止,不同的抽法有种.

再计算所述事件包含的抽法总数.仍先考虑“先发现甲盒为空”的情况.实际上是在抽第(n + r)次时 (r=0,1,,nm) 抽出甲盒,这时甲盒已被抽n次;前(n+r-1)次抽取时,乙盒被抽出r次,(不同的抽法有种);紧接着的第(nmr)次全抽出乙盒;第(2nm+1)次抽时抽得甲盒,发现它已空,但仍把它放回口袋,后面m次仍从两盒中随机取一盒(有种取法).因此对固定的r,抽法有种,“先发现甲盒为空”的抽法共有种. 对于乙盒也同样讨论,因此所述事件概率为

2/=/

不难证明两种不同解法的结果相同,从而得出等式

=       =

两种解法对照,第二种解法虽然具体,但繁复.前一解法注意到:所使所设事件发生,抽取必然是2n+1-m次. 从而推倒出简洁的结果.

 

三、几何概率

古典概型要求样本点总数为有限.若是有无限个样本点,特别是连续无限的情况,虽是等可能的,也不能利用古典概型.但是类似的算法可以推广到这种情形.

若样本空间是一个包含无限个点的区域Ω(一维,二维,三维或n维),样本点是区域中的一个点.此时用点数度量样本点的多少就毫无意义.“等可能性”可以理解成“对任意两个区域,当它们的测度(长度,面积,体积,…)相等时,样本点落在这两区域上的概率相等,而与形状和位置都无关”.

在这种理解下,若记事件={任取一个样本点,它落在区域g},则的概率定义为

P() =                                           (3)

这样定义的概率称为几何概率(geometric probability)

10  某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).

可以认为人在任一时刻到站是等可能的. 设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5),记={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻,故

P()=

 

11(会面问题)两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.求两人会面的概率.

因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成.以7点钟作为计算时间的起点,设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为                                   

Ω:{(x,y) | 0x60,0y60},画成图为一正方形.会面的充要条件是|xy| 20,即事件A={可以会面}所对应的区域是图1中的阴影线部分.

P(A)=

 

12  (蒲丰(Buffon)投针问题)平面上画很多平行线,间距为a 向此平面投掷长为( < a) 的针, 求此针与任一平行线相交的概率.

以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定:针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角(见图12a).样本空间为

Ω:{(,x),0≤π,0xa /2},

为一矩形. 针与平行线相交的充要条件是g: x(见图1-2b).所求概率是

P==

 

    

12                      12

注.因为概率P可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N,(或一次投针若干枚,总计N枚),统计与平行线相交的次数n,则Pn / N 又因a都可精确测量,故从2 / aπ≈n / N, 可解得π≈2  N /an 历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3408次,算得π≈3.1415929,其精确度已经达到小数点后第六位.

设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径. 随着电子计算机的发展,大量随机试验十分容易,使得这种方法变得非常有效.

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