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古典概型的计算方法与应用
摘 要：伴随着社会生活的迅猛发展与计算机的普及应用，概率论正普遍的应用到各个领域.古典概型占据概率论中一个非常重要的地位，它是相对简单的，应用极为广泛的一个数学模型.本文从古典概型的计算方法与实际应用两个方面对古典概型问题进行了比较全面的分析、归纳、分类，全面并客观地分析出很多种解决古典概型问题的计算方法. 关键词：古典概型；概率模型；概念；计算方法；应用
Calculation and Application of the Classical Probability
Abstract:With the rapid development of science and technology and the popularization of computer application, probability theory is widely applied to all walks of life. The classical subscheme occupy a very important role in probability theory, it is relatively simple, a mathematical model is widely used. In this paper, from the classical subscheme calculation method and practical application of the two aspects of classical subscheme problems to compare the comprehensive analysis, induction, classification, systematically summarized the various calculation method to solve the problem of classical subscheme. Key words:the classical probability model；probabilistic model；conception；computational method；application
1引言 古典概型是概率论的基础知识，尽管其概念直观，计算公式简单，但应用到具体问题时往往是复杂多变的，就会让我们在解决问题时难以找到一种适合的计算方法.深入研究古典概型中的基本问题，有助于我们直观地体会古典概型的基本概念，正确运用计算古典概型的方法，进一步了解古典概型在生活各个领域中的应用.本文从古典概型的计算方法与实际生活的应用两个方面对古典概型问题进行了客观地分析、归纳、分类，并在此基础上对生活中的实际例题进行了比较详尽地探讨，系统地总结出了多种解决古典概型问题的计算方法. 2预备知识 2.1基本概念 在学习研究中，我们经常遇到的硬币（均匀的硬币）实验，结果只可能是正的或负的 ，因为硬币具有对称性，我们始终觉得负或者正发生的可能性是相同的.例掷骰子实验，若骰子质地均匀，则发生六点的概率是相等的；再举例说对于样本事件总数有限，外观相同的产品进行抽样检测，产品被抽取的可能性也是相等的.这是概率论中最容易、最直接的模型. 定义 若随机试验满足 (1)在样本空间中，有有限个样本元素（即基本事件），那不妨设为样本元素有个，并记它们为. (2)各个基本事件的可能性是相等的，即有 . 这种等可能的数学模型，我们通常就称之为古典概型. 2.2古典概型的特点 通过上面的古典概型的定义可以得出古典概型所具有的两个特点： (1) 有限性：测试样本空间仅含有限个样本元素. 掷硬币在两种情况下是等可能的，只有正面或负面这两个样本空间；同样掷骰子实验必定会发生1，2，3，4，5，6这六种情况，样本空间是六. (2)等可能性：试验中各个基本事件出现概率是相等的. 掷一次硬币，正面出现的可能性是百分之五十，反面出现的可能性也是百分之五十；同样掷骰子，一点到六点每个点数出现的概率也是相等的，是六分之一. 注 同时拥有这两个特点的概型才是古典概型，二者缺一不可. 2.3古典概型的计算方法 定理 在个古典概型的基本事件中，样本空间为 .由于每个基本事件在试验中出现的机会均等，因此，事件包含的基本事件越多，其出现的可能性就越大，并且事件出现的可能性与该事件包含的基本事件的个数成正比.即， 设事件包含个基本事件，则有，. 3古典概型在实际生活中的应用 古典概型可以说是一门非常有意思的数学学科，随着社会的快速发展与计算机技术的应用，它已经成为研究自然生活的有力工具.在平常生活里，古典概型的运用更是常见，时时刻刻出现在我们的身边，如分房问题，掷硬币问题，生日问题，排序问题，摸球问题等，下面从几个方面具体阐述. 3.1摸球问题 摸球是学习过程中常见的问题，它分为“有放回摸球”和“无放回摸球”，而两者区别在于：“无放回摸球”是指每次摸球都要放在盒子外面，每次摸球的的总数都会比前一次摸球总数少一；“有放回摸球”每次摸球都要放回盒子里，并且每一次摸球总数不变.说明“无放回摸球”每次抽取不是相互独立的，而“有放回摸球”每次摸球是相互独立的.接下来，我们用一个例题来证明“有放回摸球”和“无放回摸球”的区别. 例1 盒子中有号球，每号球仅有一个，采用（1）无放回，（2）有放回两种方法取球，试计算在第次摸球时最先摸到一号球的概率. 解 设为事件“第次摸到一号球”（=） (1)无放回摸球 若把次摸出的个球为一组，则从个球任取个球的每一组就是一个基本事件，因此基本事件的总数为中任意一组个球的排列数，.求事件含有的基本事件数，事件可以分成两步计算：先在第个位置上排上1好球，只有一种方法，以此类推，再在个位置上排其它个球，共有种排法，则事件包含的基本事件数为 从而 （2）有放回摸球 因为每一次都把球放回，所以每一次事件总数不会改变，则共有种可能结果，即基本事件总数，事件可分为两步完成，共有，于是 对于摸球问题，审题时一定要看清楚是有放回还是无放回摸球题型，然后根据其不同的特点去解决问题，弄清楚题中的隐含条件才能把问题快速的解决掉. 3.2掷硬币问题 例2 甲、乙两人玩掷硬币（质地均匀）比赛，甲先掷次，乙掷次.求“”这一事件的概率. 解 令 =甲掷出正面的次数 =甲掷出反面的次数 =乙掷出正面的次数 =乙掷出反面的次数 于是求得事件发生的概率为（），另一方面显然有 因为硬币是均匀的，由对称性知 （）（） 由此即得 （） 我相信大部分人可能都曾用掷硬币的方法解决过问题，用硬币的正反面去替自己做决定，例如买衣服颜色的选择、判断题的对与错、是否参加朋友的聚会等等，当然也会用掷硬币这些小游戏打发无聊的时间，从所得数字可以看出，掷硬币出现正反面的可能性是相等的，多掷一次硬币，游戏输赢的可能性也都是相等的. 3.3书籍摆放问题 书籍摆放问题可以转化为排序问题，数学定义为转化法.而排序即是把一些元素按照某些要求，递增或递减的排列起来，若把书籍按照特定的顺序排列求概率，就可以认为在排序的基础上，求解某事件发生的概率. 例 一套五册选集，随机的货架上，从左到右或从右到左书正好为1，2，3，4，5的概率. 解 以表示从左到右排列的书的卷号，这时排列的方法与向量（）相对应，而只能在1，2，3，4，5中取值（而且取值时不可以重复），所以满足向量的个数共有个，因为每卷书的摆放是随机的，所以这120种的取值方法的可能性是相等的，这时就满足古典概型，而发生有利事件的可能性只有两种：一种卷号的排列为1，2，3，4，5，另一种为5，4，3，2，1.所以 3.4生日问题 例4 高三一班总共有有个同学（），求至少有两个同学出生在同一天的概率有多大？ 解 这里的一年指365天，我们就人为的将365天看作365个“房间”，这时“n个人的生日不相同”.令 个人中至少有两个人的生日相同 则 个人的生日全不相同 由题可知 而 于是 对不同的一些值，求得的对应的值如表所示：
列出答案足以使大多数读者感到惊讶，因为”至少两人同一天生日”这一事件发生的可能性，大多数人都会觉得事情发生的几率会很小，但事实证明概率相当大.这个数据也提醒我们，“感觉”有时是不可靠的，更有力地强调了生活中我们要学会用科学的方法辨别常见的自然现象. 3.5分房问题 放一些人到一些房间里，这个问题可以转化为把球放进盒子，放球入盒问题是一个古典概型，其背景和分房问题是相通的，根据不同的要求放法自然也就会不同，将人比作球，房间比作盒子，这所谓的分房问题和放球入盒问题就有着异曲同工之妙. 例 设有个人，每个人被分配到个房间中的随意一间去居住的可能性是相等的，计算各个事件发生的概率： (1)指定的个房间各有一人住； (2)恰好有个房间，其中各住一人． 解 因为每个人有个房间可以选择，所以个人居住的可能性共有种，它们发生的可能性是相同的.在(1)问题中，特定的房间都有人居住，总数就为个人全阵列，于是 在(2)问题里，个房间可以随意选择个房间，其总数有个，因为对所选择的个房间，按对上述问题的研究可以得出有种分配方法，所以正好有个房间，每个房间各住一个人的概率为 3.6彩票问题 例 “双色球彩票是从”，抽取方法是从1—33号红球中摇出6个基本号码，摇出后不许放回（没有重复），接着从1-16号绿球中摇出1个特别号，购买者从1-33个数字中选出6个基本号码，再从1-16个数字中选出一个特别号码构成一注，如果选择的6个基本号码和特别号码同摇出的6个基本号码和特别号码完全相同，则中一等奖；如果选中6个基本号码，特别号码没中则中二等奖；如果6个基本号码中5个，并且特别号码选中则中三等奖.如果中最高奖就没有机会获取低等奖，计算得一、二、三等奖的概率各是多少？ 分析 依据经典的概率特性，该问题属于古典概型问题.切记，一定要以基本理论为出发点，对复杂内容的问题运用特别的技巧，因为知识的关系主要取决于抽象思维，所以我们必须要有自己的思想和方法.对于难以计算的问题我们可以用实验来证明，因为其解决问题的方法是复杂麻烦的，因此，计算古典概型问题没有特定的思维模式，需要牢固的基础知识与多思维的解决方法. 解 在以上的问题中可以看出，想中一等奖，基本号码和特别号码必须完全正确，仅有一种情况：记为事件，一共有种，特别号码是从1-16号球中任意选取1个，共有种，从而试验中的基本事件总数为个，因为中一等奖只有一种情况，即 要中二等奖，6个基本号码就必须完全一致，也仅有一种情况，特别号码是在1-16号球中去掉中一等奖的概率，则有种可能，用“”表示. 所以 要中三等奖，就必须在中奖的6个号码里选5个，再从1-33个号码中去掉中奖的6个号码，也就是在27个号码里随意选择一个，所以就种情况，特别号码必须正确有一种可能，用“”表示. 所以 例 这几年，“彩票飓风”风靡全国各地，在我国许多省市发行着多种多样的电脑彩票，花两元就可以买一张彩票，就有可能中几百万甚至上千万的巨大奖金，这也许是大部分人朝思暮想的事，但是这样的机会发生的几率到底有多大呢？我们以某省发行的“36选6+1”福利彩票为例.“36选6+1”方案是这样的：先从01—36个号码球中依次摇出6个基本号，再从剩下的30个号码中摇出一个特别号码；从01—36个号码中任意选择7个组成一注（不能重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少决定相应的中奖等级，不考虑号码顺序.这两种方案的中奖等级如下表.
注： 为选中的基本号； 为选中的特别号； 为未选中号码. 解析：讨论各个中奖级别的概率.以每注为单位，求每注彩票的中奖率. 基本事件数：从36个数中任选出7个，不考虑顺序，一共有种抽取方法. 解 一等奖：七个号码全部选中，必然只有一种结果，.则获得一等奖的概率为 二等奖：六个基本号码全部相同，特别号没选中，.因此中二等奖的概率为 三等奖：六个基本号中五个，特别号码相同，.因此中三等奖的概率为 四等奖：六个基本号中五个，特别号码没中，.因此中四等奖的概率为 五等奖：六个基本号码选中四个，特别号相同，，因此中五等奖的概率为 六等奖：六个基本号中四个，特别号码没中，所以六等奖有利事件数.因此中六等奖的概率为 七等奖：六个基本号中三个，特别号码选中，所以七等奖有利事件数，因此获得七等奖概率为 通过以上计算，你会发现：获得特等奖的概率比雷雨天被雷劈中的概率（平均几万分之一）还要低.我们也可以看出要中一、二、三等奖的概率是非常小的，这也是从现实生活中的实际情况出发.若想中一等奖，就一定要买下所有可能发生的号码，这样即使中奖也要亏本，所以在做某些事时最好先算一算，是不是值得去做，做好的概率是多少，这样就不做亏本的事. 4结束语 总之，古典概型是概率论的基本模型，在实际生活中经常遇到，上述是对几类古典概型中的实际问题进行了解析证明，但在学习中，我们还是会有很多地方要去注意.基于古典概率基本理论的普遍性，从基本概念的角度出发，它的大多数概念比较直白，便于理解；从另一个角度看，它又概括了许多实际问题.我们不仅要学会计算，更要加强与实际生活的联系，学会用科学的态度对待身边的一些随机事件，尽量的让自己多举出一些生活中的实际例子，学会与他人合作交流，在处理古典概型的基本问题时，不但要掌握扎实的基本知识，还要有灵活的解题技巧和丰富的解体经验，培养良好的学习习惯.它和各个方面的数学知识混合应用，不仅启发着人类的思想，还散发着迷人的魅力.
感谢于梅菊老师在论文写作过程中对我的悉心指导和批评指正，也感谢帮助我的各位同学!
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