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高中数学:求概率分布要过好“四关”

 悟道谈风水 2019-12-13
概率分布是概率与统计中的重点和难点,它直接影响着期望和方差的学习,求概率分布要过好下面“四关”。
 
1. 要过好“题目的理解关”
认真审题、正确理解题意是解题过程中关键的一步,是良好的解题习惯。因错误理解题意造成失误的例子不胜枚举。
例1. 在独立重复试验中,每次试验中某事件发生的概率是0.8,求第3次事件发生所需要的试验次数的分布列。
分析:第3次事件发生并不是指第3次试验某事件一定发生,而是指某事件前面已经发生过2次,并且该事件要发生第3次。
简解:第3次事件发生所需要的试验次数的分布列为:
 
2. 要过好“随机变量的取值关”
确定随机变量的取值时,要做到准确无误,特别要注意随机变量能不能取0的情形。
例2. 设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为,遇到红灯(禁止通行)的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,表示停车时已经通过的路口数,求的概率分布。
分析:本题若不小心,则极易遗漏=0的情形,事实上,当=0时表示汽车在第1个路口遇红灯。
简解:随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,4,
的概率的分布列为:
 
3. 要过好“事件的类型关”
概率分布通常是由等可能事件、随机事件、互斥事件、对立事件、独立事件、独立重复事件等引起的,在计算相应的概率前要确定事件类型。
例3. 某人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,能答对其中的6题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,求答对试题数的概率分布。
分析:本题极易被误认为是独立重复事件引起的随机变量的分布列即二项分布,事实上,本题是不放回抽样,不是独立重复事件引起的分布列,不服从二项分布。
简解:
所以答对试题数的概率分布为:
例4. 已知一批零件共12件,其中9件是正品,3件是废品,任取其一安装在机器上,若取到废品,则丢弃后再继续抽取一个,直到取到正品为止。试求取到正品前取出废品件数的分布列。
分析:本题极易误认为是独立重复事件引起的几何分布,。事实上,本题为不放回抽样,不是独立事件引起的分布列,不服从几何分布。
简解:因为
所以取到正品前取出废品件数的分布列为:
 
4. 要过好“概率的计算关”
运用公式
计算概率时,要做到准确无误,特别地,运用公式计算二项分布相应的概率时,不要遗漏二项式系数
例5. 某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题。竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响,求这名同学回答这3个问题的总得分的概率分布。
分析:的所有可能取值为-300,-100,100,300。在计算概率时极易遗漏二项式系数。
简解:
故这名同学回答这3个问题的总得分的概率分布为:
例6. 某射手有5发子弹,射击一次命中概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数的分布列。
分析:的取值有1,2,3,4,5,在计算时极易出错。
简解:时,服从几何分布,;当=5时就不同了,只要前4次射不中,都要射第5发子弹,不用考虑是否射中,故
所以耗用子弹数的分布列为:

▍ 来源:综合网络

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