高中数学：向量背景下的轨迹问题

向量是沟通代数、几何与三角函数的工具，有着丰富的实际背景。本文就轨迹问题谈之。

一、中点问题

例1 已知A（－2，0）、B（2，0），点C、点D满足，

。

（I）求点D的轨迹方程；

（II）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。

解：（I）设点C（），D（x，y），则，，

又

故 解得

将其代入得，即为所求点D的轨迹方程。

（II）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为

①

椭圆方程为

②

因为直线l与圆相切，故，解得。将①代入②，整理得，而，即

设M（），N（）

则

由题意有，解得。

经检验，此时△>0。

故所求的椭圆方程为。

二、角问题

例2 如图1，已知两定点A（－c，0），B（2c，0）（c>0），在△AMB中，设向量的单位向量分别为－1。

（I）求顶点M的轨迹方程，并画出方程的曲线；

（II）自古代开始，数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角，但一直没有成功。直到十九世纪，其不可能性才被Galois的方程论证明。但是若利用所求方程的曲线、圆规和直尺，则我们可以三等分任意角。请三等分图中的∠ADB，并证明。

图1

解：（I）设∠MBA=，∠MAB=，由题设，当时，有

①

设点M（x，y），当点M在x轴上方时，将，代入①，整理得；当点M在x轴下方时，，，仍有。

注意到当x=2c时，亦满足方程。

故所求的轨迹方程是双曲线的右支，但不包括x轴上的点，图形如图1。

（II）如图1，作△ADB的外接圆与双曲线交于点C（C是不在圆弧ADB上的点）。连AC，CB，CD，则有∠ADC=，∠BDC=，由，得∠BDC=∠ADB。

三、垂直问题

例3 如图2，P（－3，0），点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，且，在的延长线上取一点M，使。

（I）当A点在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；

（II）已知经过（－1，0）以为方向向量的直线与轨迹C交于E、F两点，又点D（1，0），若∠EDF为钝角时，求k的取值范围。

图2

解：（I）设A（0，）、Q（）、M（x，y），则），。

又

所以

所以 ①

又

所以，所以 ②

将②代入①，得

（II）

又<0

④

将③代入④，整理得

所以

由题知k≠0，故

四、平行四边形问题

例4 一椭圆中心在原点，右焦点为F（2，0），离心率为。

（I）过F作弦AB，使，求点P的轨迹方程；

（II）OAPB是不是矩形，如果是，写出相应的直线AB的方程，如果不是，说明理由。

解：（I）

设P（x,y）为轨迹上一点，由题设得平行四边形OAPB，其对称中心为（）

设，则，两式相减，得

，即

而，将其代入上式，整理得，即为所求点P的轨迹方程。

（II）若AB⊥x轴，得，相应的OAPB不是矩形

设AB：联立，得

因为OA⊥OB，所以

即

所以

即

解得（舍去）

故时矩形存在，AB方程为。

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