圆锥曲线——双曲线

圆锥曲线——双曲线

 

二. 教学目标：

　　掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质

 

三. 知识要点：

1. 双曲线定义：

①到两个定点F₁与F₂的距离之差的绝对值等于定长（＜|F₁F₂|＝的点的轨迹（（为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。

②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e（e＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

2. 双曲线图像中线段的几何特征：

（1）实轴长，虚轴长2b，焦距。

（2）顶点到焦点的距离：

，

（3）顶点到准线的距离：

；

（4）焦点到准线的距离：

（5）两准线间的距离：

（6）离心率：∈（1，+∞）

（7）焦点到渐近线的距离：虚半轴长。

（8）通径的长是，焦准距，焦参数（通径长的一半）。

其中  

3. 双曲线标准方程的两种形式：

①－=1，c=，焦点是F₁（－c，0），F₂（c，0）

②－=1，c=，焦点是F₁（0，－c）、F₂（0，c）

4. 双曲线的性质：－=1（a＞0，b＞0）

（1）范围：|x|≥a，y∈R

（2）对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称

（3）顶点：轴端点A₁（－a，0），A₂（a，0）

（4）渐近线：

①若双曲线方程为渐近线方程

②若渐近线方程为双曲线可设为

③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x

（5）准线：l₁：x=－，l₂：x=，两准线之距为

（6）焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；

，（点P在双曲线的右支上）；

当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）

（7）与双曲线共渐近线的双曲线系方程是

 

【典型例题】

例1. 根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点（－3，2）；

（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）。

分析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程。

解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，

由题意，得  

解得a²=，b²=4

所以双曲线的方程为－=1

（2）设双曲线方程为－=1

由题意易求c=2

又双曲线过点（3，2），

∴－=1

又∵a²+b²=（2）²，

∴a²=12，b²=8

故所求双曲线的方程为－=1

解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），

将点（－3，2）代入得λ＝，

所以双曲线方程为－=1

（2）设双曲线方程为－＝1，

将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1

点评：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a²x²－b²y²=λ（λ≠0）。

 

例2. 设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。

分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围。

解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，

即y=±2x（x≠0）                              ①

因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，

从而得  ||PM|－|PN||<|MN|=2

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，

∴0<|m|<1

因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上

故－=1                   ②

将①代入②，并解得x²=，

∵1－m²>0，∴1－5m²>0

解得0<|m|<，

即m的取值范围为（－，0）∪（0，）

评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。

 

例3. 已知a∈[0，π]， 设讨论随a值的变化，方程x²sina+y²cosa=1表示的曲线形状。

解：（1）a=0时，两直线y=1和y= －1；

（2）a=π/2时，两直线x=1和x=－1；

（3）0<a<π/2时，焦点在x轴上的椭圆；

（4）a=π/4时，半径为的圆；

（5）π/4<a<π/2时，焦点在y轴上的椭圆；

（6）π/2<a<π时，焦点在x轴上的椭圆。

点评：本题主要考查椭圆双曲线方程的形式和分类讨论思想。

 

例4. 一双曲线以y轴为其右准线，它的右支过点M（1，2），且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列。试求：

（1）双曲线的离心率；

（2）双曲线的右焦点F的轨迹方程；

（3）过点M，F的弦的另一端点Q的轨迹方程。

解：（1）依题意，2a=b+c， ∴b²=（2a－c）² = c²－a²，  5a²－4ac=0，

两边同除以a²， 得；

（2）设双曲线的右焦点F（x，y）， 由双曲线的定义，点M到右焦点的距离与点M到准线的距离之比为e=，

∴=，

∴F的轨迹方程为（x－1）²+（y－2）²=

（3）设Q（x，y）， 点Q到右焦点的距离与点Q到准线的距离之比为5/4，

∴|QF|=，

又设点F（x₁，y₁）， 则点F分线段QA的比为=:= x ，

∴x₁==， y₁==，

代入（x₁－1）²+（y₁－2）²=整理得：

点Q的轨迹方程为  9x²－16y²+82x+64y－55=0

 

例5. 已知双曲线的方程为，直线通过其右焦点F₂，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F₁连结起来，求|F₁A|·|F₁B|的最小值。

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

A到双曲线的左准线x= －= －的距离d=|x₁+|=x₁+，

由双曲线的定义，=e=，

∴|AF₁|=（x₁+）=x₁+2，

同理，|BF₁|=x₂+2，

∴|F₁A|·|F₁B|=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+（x₁+x₂）+4    （1）

双曲线的右焦点为F₂（，0），

（1）当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k（x－），

由消去y得  （1－4k²）x²+8k²x－20k²－4=0，

∴x₁+x₂=，  x₁x₂= －，

代入（1）整理得

|F₁A|·|F₁B|=+4=+4

=+4=+

∴|F₁A|·|F₁B|>；

（2）当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF₂|=|BF₂|=，

∴|AF₁|=|BF₁|=2a+=（双曲线的第一定义）， ∴|F₁A|·|F₁B|=

由（1），（2）得：当直线AB垂直于x轴时|F₁A|·|F₁B|取最大值

 

例6. 已知双曲线的方程是16x²－9y²=144。

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F₁和F₂是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF₁|·|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小。

解：（1）由16x²－9y²=144得－=1，

∴a=3，b=4，c=5

焦点坐标F₁（－5，0），F₂（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x。

（2）||PF₁|－|PF₂||=6，cos∠F₁PF₂=

===0

∴∠F₁PF₂=90°

小结：

1. 由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法。首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：

（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

（2）已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b²x²－a²y²=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上。

2. 由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错。

3. 解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量。

4. 对概念的理解要准确到位，注意答案的多种可能性；擅于将几何关系与代数关系相互转化；把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题；注意参量的个数及转化；养成化简整理的习惯。

 

【模拟试题】

1. 动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹是  （    ）

A. 圆              B. 椭圆                 C. 双曲线                 D. 双曲线的一支

2. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若是正三角形，那么双曲线的离心率为 （    ）

    A.             B.                  C. 2                      D. 3

3. 已知是双曲线的左、右焦点，P、Q为右支上的两点，直线PQ过，且倾斜角为，则的值为 （      ）

A.           B. 8                       C.             D. 随的大小变化

4. 过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点，若则这样的直线存在    （     ）

A. 0条                    B. 1条                     C. 2条             D. 3条

5. 直线与曲线的交点个数是   （     ）

A. 0个                    B. 1个                    C. 2个              D. 3个

6. P为双曲线上一点，为一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系为       （    ）

A. 内切             B. 外切             C. 内切或外切         D. 无公共点或相交

7. 是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，则的面积为      （    ）

A. 1               B.             C. 2                        D.

8. 双曲线－=1的渐近线方程是

A. y=±x        B. y=±x            C. y=±x                D. y=±x

9. 过点（2，－2）且与双曲线－y²=1有公共渐近线的双曲线方程是

A. －=1                              B. －=1 

C. －=1                              D. －=1

10. 如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是

A. 10              B.                 C. 2                 D.  

11. 若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为_______

12. 双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________。

13. 等轴双曲线的离心率为_________。

14. 已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________。

15. 已知双曲线x²－=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点。

（1）求直线AB的方程；

（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦。

16. 双曲线kx²－y²＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程。

 

【试题答案】

1. D   

       解析：外切条件：

2. B

3. A

解析：用双曲线定义列方程可解

4. D

解析：x轴时的焦点弦长AB=4最短，为通径，故交右半支弦长为4的直线恰有一条；过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条。

5. D

解析：（0，5）点为完整双曲线和椭圆的极值点，故y=5为其切线，当直线斜率不为0时，直线必与每个曲线交于两点。

6. C

解析：用两圆内切或外切的条件判断

7. A

解析：勾股定理，双曲线定义联立方程组或面积公式。

8. A

解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3

∴渐近线方程为y=±x=±x

9. A

解析：可设所求双曲线方程为－y²=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2

10. D

解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=

11.

解析：

12.

13.

解析：渐近线垂直，开口开阔与否的分界值。

14.

解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4。故圆心坐标为（4，±），易求它到中心的距离为。

  15. （1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2=k（x－1），

代入双曲线方程得（2－k²）x²+（2k²－4k）x－（k⁴－4k+6）=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=－，

由已知=x_p=1，∴=2解得k=1

又k=1时，Δ=16＞0，从而直线AB的方程为x－y+1=0

（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在

16. 解：由题意k＞0，c=，渐近线方程l为y=x，

准线方程为x=±，于是A（，），

直线FA的方程为 y=，于是B（－，）

由B是AC中点，则x_C=2x_B－x_A＝－，y_C=2y_B－y_A＝

将x_C、y_C代入方程kx²－y²＝1，得k²c⁴－10kc²＋25＝0

解得k（1+）＝5，则k＝4

所以双曲线方程为4x²－y²＝1