【原】两种多项式的奇偶性

（一）伯努利多项式：

1、性质：

（1）n为偶数：B_n(x+1/2)为偶函数；

（2）n为奇数：B_n(x+1/2)为奇函数。

2、证明：

（1）f(x,t)=te^(x+1/2)t/(e^t-1)=∑(n=0…∞)B_n(x+1/2)tⁿ.

（2）f(x,t)=(t/2)e^xt/sh(t/2)，f(-x,t)=f(x,-t)

（3）f(x,t)+f(-x,t)=f(x,t)+f(x,-t)

=∑(n=0…∞)[B_n(x+1/2)+B_n(-x+1/2)]tⁿ.

=2∑(n=0…∞)B_2n(x+1/2)t²ⁿ.

故    B_2n(x+1/2)=B_2n(-x+1/2)， B_2n+1(x+1/2)+B_2n+1(-x+1/2)=0.

（一）欧拉多项式：

1、性质：

（1）n为偶数：E_n(x+1/2)为偶函数；

（2）n为奇数：E_n(x+1/2)为奇函数。

2、证明：

（1）g(x,t)=2e^(x+1/2)t/(e^t+1)=∑(n=0…∞)E_n(x+1/2)tⁿ.

（2）g(x,t)=e^xt/ch(t/2)，g(-x,t)=g(x,-t)

（3）g(x,t)+g(-x,t)=g(x,t)+g(x,-t)

=∑(n=0…∞)[E_n(x+1/2)+E_n(-x+1/2)]tⁿ.

=2∑(n=0…∞)E_2n(x+1/2)t²ⁿ.

故    E_2n(x+1/2)=E_2n(-x+1/2)， E_2n+1(x+1/2)+E_2n+1(-x+1/2)=0.