基于奇异值分解（SVD）的图片压缩实践

1. 前言

数字图片在计算机中是以矩阵形式存储的。所以可以通过矩阵理论和矩阵算法对数字图像进行分析和处理。本文通过对图片进行SVD压缩，对不同的参数下的压缩效果进行对比。

SVD概念可以参考：《统计学习方法》–奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

2. 原理简介

彩色图片有3个图层，RGB（红、绿、蓝）也就是矩阵的一个位置上存储了3个基色的数值，由3个基色混合成不同的色彩。

通过对3个图层矩阵，分别进行SVD近似，SVD奇异值是唯一的，可以取前 k 个最大的奇异值进行近似表达，最后再将3个图层的矩阵数据合并，用较少的数据去表达图片。

2.1 SVD定义

3. 实践代码

# -*- coding:utf-8 -*-# @Python Version: 3.7# @Time: 2020/4/21 23:38# @Author: Michael Ming# @Website: https://michael.blog.csdn.net/# @File: 15.svd_pic_compress.py# @Reference: https://blog.csdn.net/weixin_44344462/article/details/89401727import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef zip_img_by_svd(img, plotId, rate=0.8): zip_img = np.zeros(img.shape) u_shape = 0 sigma_shape = 0 vT_shape = 0 for chanel in range(3): # 3个图层 u, sigma, v = np.linalg.svd(img[:, :, chanel]) # numpy svd函数 sigma_i = 0 temp = 0 while (temp / np.sum(sigma)) < rate: # 选取的奇异值和需要达到设定的权重 temp += sigma[sigma_i] sigma_i += 1 SigmaMat = np.zeros((sigma_i, sigma_i)) # 选取了sigma_i 最大的奇异值 for i in range(sigma_i): SigmaMat[i, i] = sigma[i] # 将奇异值填充到Sigma对角矩阵 zip_img[:, :, chanel] = u[:, 0:sigma_i].dot(SigmaMat).dot(v[0:sigma_i, :]) # 将分解得到的3个矩阵相乘，得到压缩后的近似矩阵 u_shape = u[:, 0:sigma_i].shape sigma_shape = SigmaMat.shape vT_shape = v[0:sigma_i, :].shape for i in range(3): # 对三个通道的矩阵数值进行归一化处理 MAX = np.max(zip_img[:, :, i]) MIN = np.min(zip_img[:, :, i]) zip_img[:, :, i] = (zip_img[:, :, i] - MIN) / (MAX - MIN) zip_img = np.round(zip_img * 255).astype('uint8') # 不乘255图片是黑的（接近0,0,0），数据类型uint8 plt.imsave('zip_svd_img.jpg', zip_img) # 保存压缩后的图片 zip_rate = (img.size - 3 * ( u_shape[0] * u_shape[1] + sigma_shape[0] * sigma_shape[1] + vT_shape[0] * vT_shape[1])) / (zip_img.size) f = plt.subplot(3, 3, plotId) f.imshow(zip_img) f.set_title('SVD压缩率 %.4f,奇异值数量：%d' % (zip_rate, sigma_i)) print('设置的压缩率：', rate) print('使用的奇异值数量：', sigma_i) print('原始图片大小：', img.shape) print('压缩后用到的矩阵大小：3x({}+{}+{})'.format(u_shape, sigma_shape, vT_shape)) print('压缩率为：', zip_rate)if __name__ == '__main__': imgfile = 'svd_img.jpg' plt.figure(figsize=(12, 12)) plt.rcParams['font.sans-serif'] = 'SimHei' # 消除中文乱码 img = plt.imread(imgfile) f1 = plt.subplot(331) # 绘制子图，3行3列，3*3个子图，现在画第1幅 f1.imshow(img) f1.set_title('原始图片') for i in range(8): # 再画8个子图 rate = (i + 1) / 10.0 # 压缩率 10% - 80% zip_img_by_svd(img, i + 2, rate) plt.suptitle('图片SVD效果对比', fontsize=17, y=0.02) # y偏移距离 plt.show()

• 可以看出在使用128个奇异值的SVD压缩情况下，就可以得到跟原图差不多效果的图片
• 原图是703x800的尺寸，SVD使用的矩阵 ((703, 128)+(128, 128)+(128, 800))=208768
• 可以少使用的矩阵数据比例为（703*800*3-208768*3）/（703*800*3）= 62.88%
• 可以只用37.12%的数据量去近似表达原始图片，是不是很酷！！！
• 在网络传输图片的过程中，终端用户可能点击，也可能不点击，那我都给他们发送SVD后的图片矩阵数据（减少了当次传输数据量），然后在终端进行矩阵运算得到压缩后的图片，当用户点击图片后，再进行传输原图片（1、用户点击是分散的，可以降低统一发送原图的网络拥挤现象；2、有的用户也不会点击，就避免了传输原图，达到了压缩的目的，节省流量）