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现在转向“数学深度教学”的第三个含义：我们应当通过数学教学帮助学生学会学习，即由主要在教师（或书本）指导下进行学习逐步转向更自觉的学习，包括由同学间的交流互动取得切实的进展，从而真正成为学习的主人。以下对“交流与互动”的重要性做出简要分析，包括我们究竟应当如何去认识它们的具体含义。首先，加强“交流与互动”，特别是学生间的交流与互动，对于教学而言并非一个全新的论题。新一轮课程改革的一个重要启示或教训，就是课堂上不应作无准备的交流、无必要的交流，“互动”也不应流于形式，即表面上热热闹闹，实质上却没有任何真正的收获。因此，就如“深度教学”的概念，我们在此也可明确提出“深度交流”与“深度互动”两个概念，而其基本含义就是对“浅度交流”和“浅度互动”的直接反对。其次，我们应当围绕“深度教学”，特别是“促进反思、促进优化、促进合作”等目标对“交流与互动”的含义作出进一步的分析。这也就是指，“深度教学”为我们进一步做好“交流与互动”指明了努力方向；反之，相关工作也为我们真正做好“深度教学”提供了又一重要的途径。例如，这就是从“深度教学”这一角度进行分析的一个直接结论：无论就课堂讨论或是小组讨论而言，教师都应发挥重要的引领作用，如通过适当提问将讨论与交流不断引向深入。当然，相对于师生间的交流与互动，我们更加强调学生间的积极交流与互动，应当将此看成“深度教学”的又一重要环节。当然，这不应被理解成对教师在这一方面重要作用的简单否定，而是应当更有针对性地去作出相关的研究。第一，相对于“清楚地表述”这一普遍性要求而言，我们在组织学生交流时应当更加突出这样一点：想清楚了再讲。因为从“深度教学”的角度看，“表述”为学生的自我梳理（总结）、自我审视（调整）提供了重要契机。教学中，我们不仅应给学生更多的表述机会，也应明确提出“想清楚再讲”这样一个要求，即要求学生在表述前先对头脑中的想法作出梳理与检查（评价），包括认真地去思考如何才能讲清楚，讲得有条理，讲得令人信服。由于上述目标的实现在很大程度上取决于学生是否有时间作出准备，特别是深入地进行思考，因此我们在教学中应当十分重视为学生的思考提供充足的空间与时间，包括努力培养他们长时间思考的习惯与能力。例如，教学中要求学生解决的问题显然不应太多太小，而应努力做到“少而精”，更要有足够的思维含金量。不然的话，学生就会忙于应付，而不可能真正静下心来长时间地思考，甚至根本找不到深入思考的切入点。我们还应十分重视如何能为学生的静心思考提供合适的环境与氛围，包括努力帮助他们进入这样一种状态，即完全沉浸于相应的学习活动。第二，相对于“仔细地倾听”这一要求，我们在教学中应更加突出“交流”功能：其他人的看法或做法为主体的深入思考，特别是反思和优化提供了重要背景；进而，比较与分析，包括适当的评论和批评又是实现积极互动最重要的一个环节。因为只有更清晰、更深入、更全面、更合理地思考，我们才有可能对别人的意见作出适当评论和批评，也才有可能对自身原有的认识作出适当的改进。从上述角度进行分析，我们在教学中显然应当大力提倡观点与方法等的多元化，以及对于不同观点与方法等的容忍、理解与欣赏，即应当保持一定的开放性，而不应过分强调教学的规范性。与此相对照，“浅度交流”和“浅度互动”停留于让更多的学生表达自己的意见，却没有认识到还应通过倾听、比较、分析、评论、反思等促进认识的发展与深化。（1）鼓励不同意见的争论。在一些教师看来，这就是我们区分“课堂交流”三个不同层次或境界的主要标志：“表达与交流，补充与提问，质疑与辩论。”（仲广群语）（2）强调反思，强调优化，强调理性。例如，教学中应当积极鼓励学生交流这些方面的体会和感受，并能在这些方面逐步养成良好的习惯，包括不断提升自身的相关能力。显然，这就是“学会学习”这一方向上的重要进步。另外，从上述角度，相信读者也可更好地理解笔者的这样一个主张，即我们应将“善于比较与优化”看成数学教师又一重要的基本功。教学中我们应很好地去处理开放性与规范性之间的关系：既坚持必要的规范，而不采取放任自由的态度，又使之真正成为学生的自觉行为，而不只是外部压力下的被迫服从。第三，认识主体由各个单独的个体向群体、向由学生与教师组成的“学习共同体”的重要转变。这是“交流与互动”又一重要的含义。应当强调的是，只有从上述角度进行分析，我们才能更好地理解“学习”的意义：既不应理解成知识的简单“传递”，也不应看成纯粹的个人行为，或是教师与各个学生之间的孤立行为，而是相应共同体——就学校学习而言，就是由教师与学生组成的“学习共同体”——的共同建构，尽管有些学生在当时很可能没有直接发言的机会，或只是通过举手表达了对于某个主张的赞同或反对，或只是用简单的一句话表达了自己的想法，或只是提出了一个问题，等等。如果说我们先前所强调的主要是由“与别人对话”转变到“与自己对话（反思）”，那么现在就是由“个体性反思”走向“集体性反思”和“社会性反思”，这当然是更高层次的反思。例如，“课堂对话”不应成为“打乒乓式”的师生对话（叶澜语），即每次由教师指定一位学生发言，然后教师立即对此做出指导点评；恰恰相反，我们应将课堂的评价权还给学生。又如，我们在教学中应“让学生的思维多飞一会儿”（陈洪杰语），即应先呈现几位学生具有典型意义的想法，再通过“你都懂吗”“你能分分类吗”此类提问，引导学生在更大的范围实现对话和互动。当然，教学中我们还应给不会的人、有问题的人足够的发言机会，努力做到“学生什么不会就讲什么，谁不会就给谁讲。这样……为学生与文本对话、与同学对话、与教师对话、与自己对话提供平台。”（黎书柏语）另外，这显然也是一个很好的教学措施，即在课堂上组织学生对解题时容易出错的地方（“易错题”）进行交流，包括明确提出这样一个思想：“聪明人会认识自己的错误，聪明人会改正自己的错误，聪明人不重复犯同样的错误，最聪明的人不重复别人的错误。”（贲友林语）在笔者看来，上述做法就是实现以下目标的关键：“错着错着就对了，聊着聊着就会了。”（吴正宪语）当然，更高的目标是帮助学生“学会合作、学会学习”。这是北京小学长阳学校吴桂菊老师的一个做法，即从一年级开始就鼓励学生在课堂上自由地与同学们分享“自己看到了什么，自己想到了什么，自己发现了什么，自己有什么好奇想问的”，并将此作为师生的共同约定用明当然，随着学生年龄的增长，我们应作出必要的调整。例如，在进入小学中段以后，鼓励学生在课堂上自由地提出以下几个问题：“我还有哪些不理解的地方或疑问？有什么不同的想法或做法？我又有哪些教训愿意与大家分享？我还能提出哪些问题供大家进一步思考？”由上面的讨论，我们显然可引出这样一个结论：教师不应满足于“平等的参与者”这样一个定位，而应很好地发挥“引导者”和“组织者”等作用，如对于讨论方向的引导、结论的提炼和必要的强调等。我们应当以“学习共同体的创建”为更重要的工作目标，包括明确提倡学生成为学习共同体的积极成员。最后，上述分析显然直接涉及这样一个问题，即我们应当创建什么样的“数学课堂文化”。综上可见，“思维的课堂，安静的课堂，合作的课堂，开放的课堂”是我们应当努力实现的目标。当然，上述目标的实现必然有一个较长的过程，而这事实上正是文化的固有特征：“你的心中有你坚信的价值观，你真诚地相信它、表达它、宣扬它，并持之以恒创造性地工作，可能就是在倡导一种文化。……文化是源自内心的坚守和持之以恒的耕耘，短时间内是无法被刻意创造出来的。”（王小东语）由上述分析，我们也可获得关于自身专业成长的重要启示。正如著名教育家舒尔曼所指出的：“对一个单独工作的教师来说，要想知道他的教是否已经完成是很艰难的。”“教师的智慧是孤独而静默的，作为教师，我们事实上能够在我们的所作所为上变得更加聪明，但是由于我们在孤立的氛围中工作，使得我们难以清晰地表明我们知道的和从他者那里分享而来的智慧。由于我们的工作习惯和条件如此缺乏反思性，以至我们几乎遗忘了在实践过程中对成果和做法的一些深思。”（《实践智慧——论教学、学习与学会教学》，华东师范大学出版社，2014，第224、364页）这也就是指，“群体中的成长”正是教师专业成长的基本途径。
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