三维矩阵旋转、平移的左乘与右乘分析

三维矩阵旋转、平移的左乘与右乘分析

在矩阵的初等变换中，矩阵的左乘代表着行变换，TA=B。
矩阵的右乘相当于列变换， AT=C。

当三维坐标发生旋转、平移时，就需要考虑到矩阵是左乘还是右乘。
设有旋转矩阵R，平移矩阵T， 坐标矩阵A。

-若是绕着静态的世界坐标系旋转，有RA，即左乘旋转矩阵
- 若是绕着动态的自身坐标系旋转，有A’R’， 即右乘旋转矩阵
- 若是进行平移，则有TA，即左乘平移矩阵， A’T’为右乘平移矩阵

在使用中，我们通常对三维点（云）的旋转与平移进行左乘。
而旋转矩阵在左乘时设逆时针为正。
以下是常用的旋转矩阵。

有列向量A=[x,y,z];
则 RA 就是对 A 进行旋转。注意这里 A 是列向量，因为是在对A的每行的元素进行变换。
若要写成右乘形式，则有（RA）’=A’R’,此时R’变为右乘的旋转矩阵，A’为行向量，对A’的每一列元素进行变换。

对于平移有平移矩阵T=

I0u1$$\begin{array}{cc}I& u\\ 0& 1\end{array}$$

其中 u 为平移向量（x,y,z）; I 为3X3的单位矩阵。
设有 列向量B，则对B进行平移为 TB，左乘形式。
右乘形式为 B’T’

旋转与平移的过程

设有 3x3旋转矩阵R， 平移列向量u,平移矩阵T 为上述表达形式， 坐标列向量A
以下过程用常见的左乘形式
1 先旋转再平移
RA+u = [ R , u ; 0 1]* [A , 1 ]
也可以写成 T*R*A 的形式， A为齐次坐标的形式

2 先平移再旋转
R（A+u）=RA+Ru；
也可以写成 R*T*A

若要将上述过程写成右乘的形式，则要全部进行转置