三维坐标变换

用 opencv 进行过双目相机标定的同学都知道，单目标定 calibrateCamera() 函数能够对每一张标定图像计算出一对 rvec 和 tvec，即旋转平移向量，代表世界坐标系到相机坐标系的转换关系。而 stereoCalibrate() 函数则可以计算出旋转矩阵 R 和平移向量 T，代表左右相机坐标系之间的转换关系。同样是坐标变换，平移倒总是向量，但旋转怎么有时是向量，有时又是矩阵呢？

---

旋转矩阵

参考csxiaoshui的博客，三维旋转变换可以看成是矩阵乘法运算，即：

⎡⎣⎢x′y′z′⎤⎦⎥=R∗⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=R\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

其中 R$R$ 就是三阶的旋转矩阵。仅仅考虑绕 X$X$、Y$Y$ 或 Z$Z$ 单个轴旋转 θ$\theta$ （右手螺旋），R$R$ 分别为：

RX=⎡⎣⎢1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎤⎦⎥RY=⎡⎣⎢cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎤⎦⎥RZ=⎡⎣⎢cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎤⎦⎥$$\begin{gathered} R_X=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta \\ 0& sin\theta & cos\theta \end{array}\right] \\ {R}_Y=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right] \\ {R}_Z=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

绕任意轴旋转则可以分解成绕三个坐标轴旋转的叠加，最终得到的旋转矩阵 R$R$ 便是上述三个矩阵的乘积。

矩阵运算显然是计算机三维坐标变换最简单方便的计算方法，因此在 opencv、opengl、工业机器人等开发中，提到位姿旋转变换，多半用的是旋转矩阵。然而，用矩阵来表示一个旋转关系有两个缺点：
首先，通过旋转矩阵不能直观地看出旋转的方向和角度，假设给定一个旋转矩阵，要求旋转方向不变，旋转角度变成一半，那么新的旋转矩阵计算起来就比较麻烦了。
另一方面，旋转变换本身只有3个自由度，但旋转矩阵有9个元素，因此旋转矩阵中的元素不是相互独立的，这在非线性优化中会带来问题。

---

旋转向量

向量旋转公式最早由 Rodrigues 提出，用一个三维向量来表示三维旋转变换，该向量的方向是旋转轴，其模则是旋转角度。百度百科中有其详细的介绍与推导，我在这边只列一下最重要的公式。
设旋转向量的单位向量为 r$r$，模为 θ$\theta$。三维点（或者说三维向量）p$p$ 在旋转向量 r$r$ 的作用下变换至 p′$p^{\prime }$，则：

p′=cosθ⋅p+(1−cosθ)(p⋅r)r+sinθ⋅r×p$$p^{\prime }=\cos \theta \cdot p+(1-\cos \theta )(p\cdot r)r+\sin \theta \cdot r\times p$$

显然，旋转向量代表的变换关系十分直观，但运算上要比矩阵形式更加复杂。

---

相互转换

用矩阵形式和向量形式表示旋转变换各有优劣势，因此经常需要来回转换，这里跟数学中的李群与李代数有所关联，本人目前还一知半解，可以参考半闲居士的博客。
opencv 中有函数 Rodrigues() 用于旋转矩阵和旋转向量的转换。参照opencv文档，设旋转向量的单位向量 r=[rx ry rz]T$r=[r_x{r}_y{r}_z{]}^T$，旋转角度为 θ$\theta$，对应的旋转矩阵为 R$R$，则 r$r$ 到 R$R$ 的转换是：

R=cosθI+(1−cosθ)rrT+sinθ⎡⎣⎢0rz−ry−rz0rxry−rx0⎤⎦⎥$$R=\cos \theta I+(1-\cos \theta )r{r}^T+\sin \theta \left[\begin{array}{ccc}0& -r_z& r_y\\ r_z& 0& -r_x\\ -r_y& r_x& 0\end{array}\right]$$

其中 I$I$ 是三阶单位矩阵。反过来 R$R$ 到 r$r$ 的转换则可以利用等式：

R−RT2=sinθ⎡⎣⎢0rz−ry−rz0rxry−rx0⎤⎦⎥$$\frac{R-R^T}{2}=\sin \theta \left[\begin{array}{ccc}0& -r_z& r_y\\ r_z& 0& -r_x\\ -r_y& r_x& 0\end{array}\right]$$

opencv 官方文档中的原话是：

A rotation vector is a convenient and most compact representation of a rotation matrix (since any rotation matrix has just 3 degrees of freedom). The representation is used in the global 3D geometry optimization procedures like calibrateCamera, stereoCalibrate, or solvePnP .

称旋转向量是旋转矩阵方便而且最紧凑的表示方法，被用于一些需要全局三维几何优化的函数中。